反常积分怎样完成可靠数值计算？¶

先备知识¶

前五个单元已经分别解决两件事：

• 对反常积分，逐端点定义、比较判别与振荡判别回答“目标值是否存在”，尾部估计回答 “截断丢掉多少”；
• 对有限区间积分，中点、梯形与 Simpson 公式在导数界成立时给出可证明的求积误差。

本单元只做最后的合并。程序不会替你证明反常收敛，也不会替你证明导数界；它负责在 已经证明的前提下执行有限网格求积并返回可审计的状态。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

1. 先证明收敛，再讨论数值近似；
2. 把总容差拆成尾部误差预算与求积误差预算；
3. 由尾部界反求截断点；
4. 在完整截断区间上证明导数界；
5. 从解析误差公式反求合法网格数；
6. 用三角不等式合并两类误差；
7. 区分“结果接近”“预算耗尽”与“已有总误差证书”；
8. 用精确值、第二种方法或独立手算做不替代证明的回验。

牵引问题¶

若直接把无穷区间交给一个有限循环，循环实际上必定在某处停止。停止点右侧的积分没有 消失，有限区间上的离散误差也没有消失。怎样把这两笔误差分别记账，并给最终小数附上 可检查的保证？

探索与猜想¶

设目标是

选取截断点 \(R>a\)，在 \([a,R]\) 上用 \(Q_R\) 近似。加上再减去同一个有限积分：

这提示我们把总容差 \(\varepsilon\) 分为两份。两份不必相等，但必须在计算前写清， 且总和不超过 \(\varepsilon\)。

概念与理论¶

总误差证书定理¶

设反常积分 \(I=\int_a^\infty f(x)\,dx\) 收敛。若某个 \(R>a\) 与有限区间近似 \(Q_R\) 满足

那么

特别地，只要 \(\varepsilon_{\mathrm{tail}}+\varepsilon_{\mathrm{quad}}\le\varepsilon\)， 就得到 \(|I-Q_R|\le\varepsilon\)。

证明。 上一节的恒等式和三角不等式立即给出第一步；再代入两条已证明的界得到 第二步。这里没有假定 \(f\ge0\)：正负抵消已经包含在尾部积分的绝对值中。证毕。

这条结论看似简单，却明确了责任边界：反常积分理论负责第一项，有限区间求积理论负责 第二项，最后一次三角不等式负责合并。任何一项只凭观察而没有界，结论都不是严格的 总误差证书。

八步可靠工作流¶

1. 先证明收敛。 指明使用定义、比较、绝对收敛或振荡判别中的哪一条路线。
2. 分配预算。 选择非负的 \(\varepsilon_{\mathrm{tail}},\varepsilon_{\mathrm{quad}}\)，并验证二者之和不超过 总容差。
3. 推出尾部界。 由精确积分、比较函数或已证明的振荡尾部估计控制 \(\left|\int_R^\infty f\right|\)。
4. 选择截断点。 解不等式，使尾部界不超过尾部误差预算。
5. 证明导数界。 若选 Simpson，就在整个 \([a,R]\) 上证明 \(|f^{(4)}|\le M_4\)；不能只抽样几个点。
6. 反求网格预算。 由

[ \frac{R-a}{180}M_4h^4\le\varepsilon_{\mathrm{quad}}, \qquad h=\frac{R-a}{n}, ]

求出最小允许的正偶数 \(n\)。 7. 运行并读取状态。 调用共享模块，记录近似值、网格数、函数求值次数、解析 error_bound 与 status；若为 budget_exhausted，只报告当前有效界。 8. 合并并回验。 写出具体的总误差不等式，再检查数量级、单位和独立参照。

预算可以不均分。若尾部衰减慢而有限区间很光滑，可以给尾部更多预算；若截断容易但 导数界很粗，可以给求积更多预算。改变分配以后，截断点与网格数都要重新计算。

例题与迁移¶

例 1：指数衰减的完整基准¶

要求以总误差不超过 \(10^{-4}\) 近似

问题来源。 这个积分有精确值 \(1\)，适合验证完整证书链，但精确值只用于最后 回验。

数学转化。 正函数与 \(p\)-型之外的直接计算都说明积分收敛，并且

均分预算： \(\varepsilon_{\mathrm{tail}}=\varepsilon_{\mathrm{quad}}=5\times10^{-5}\)。 取 \(R=10\)，则 \(e^{-10}<5\times10^{-5}\)。

算法思想。 在 \([0,10]\) 上，

所以可取 \(M_4=1\)。Simpson 界要求

由此 \(n\ge57.74\ldots\)，最小正偶数是 \(58\)。

伪代码。

证明积分收敛
令 tail_budget = quad_budget = 5e-5
证明 R = 10 时 tail_bound = exp(-10) < tail_budget
证明 [0, 10] 上 M4 = 1
用 certified_simpson 计算并检查 target_met
报告 tail_bound + result.error_bound

Python。

from math import exp
from mathbook_examples.quadrature import certified_simpson

result = certified_simpson(
    lambda x: exp(-x),
    0.0,
    10.0,
    tolerance=5e-5,
    fourth_derivative_bound=1.0,
    max_subintervals=58,
)
total_bound = exp(-10.0) + result.error_bound

结果解释。 只有当 result.target_met is True 且其误差界不超过 \(5\times10^{-5}\) 时，才可写

还可以比较 \(Q_{10}\) 与精确值 \(1\)，但这只是基准回验，不是通用工作流中的必要 证明步骤。上述解析证书也不覆盖浮点舍入误差。

例 2：Gaussian 尾部预算¶

考虑

问题来源。 本例不能靠初等原函数算出目标值，因此更能体现“尾部证明加有限求积” 的作用。

数学转化。 当 \(R>0\) 且 \(x\ge R\) 时，\(x/R\ge1\)，故

逐点比较并积分：

这个上界有限，也顺带给出积分收敛。若总容差为 \(10^{-4}\) 并均分预算，取 \(R=3\) 时

算法思想。 直接求导得到

在 \([0,R]\) 上，用 \(e^{-x^2}\le1\) 与三角不等式得到有效的粗界

对 \(R=3\)，\(M_4=1740\)。于是 Simpson 求积误差满足

要使它不超过 \(5\times10^{-5}\)，取 \(n=84\) 已经足够。这个界很保守，但它覆盖 整个区间。若能另行证明更小的 \(M_4\)，可以减少网格；用采样观察到的最大值不能直接 代替证明。

Python。

from math import exp
from mathbook_examples.quadrature import certified_simpson

R = 3.0
m4 = 16 * R**4 + 48 * R**2 + 12
result = certified_simpson(
    lambda x: exp(-(x * x)),
    0.0,
    R,
    tolerance=5e-5,
    fourth_derivative_bound=m4,
    max_subintervals=84,
)
total_bound = exp(-(R * R)) / (2 * R) + result.error_bound

结果解释。 严格结论来自

前提是程序返回 target_met。若预算状态是 budget_exhausted，尾部证明仍有效，但 不得声称总目标已达到。

例 3：相邻网格很接近仍不是证书¶

有人在 \([0,R]\) 上得到

于是把 \(10^{-7}\) 写成严格误差界。这一步无效：三角不等式只给

方向不能反过来。两个近似彼此接近，不能推出任一个都接近真实的有限积分 \(I_R\)； 更没有覆盖截断后的尾部。

正确做法是分别证明尾部界与导数界，再使用有限求积误差公式。网格差可以作为发现 程序错误或数量级异常的回验，但不自动成为总误差证书。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

已知尾部界为 \(3\times10^{-5}\)，求积界为 \(8\times10^{-5}\)。能否报告总误差 不超过 \(10^{-4}\)？

即时检验 2¶

为什么“先证明收敛”必须排在选择网格之前？

即时检验 3¶

在 \([0,R]\) 上随机抽取一千点，观察到 \(|f^{(4)}|\le2\)。能否把 \(2\) 直接传给 证书程序？

即时检验 4¶

程序返回 budget_exhausted，但仍给出 error_bound=0.002。应怎样报告？

回望：可靠计算不是只输出一个小数，而是输出“收敛依据、截断点、尾部误差预算、 求积误差预算、导数界来源、网格状态和最终三角不等式”组成的证据链。

习题与答案¶

综合练习 1：重新分配指数积分预算¶

对 \(\int_0^\infty e^{-x}dx\)，总容差为 \(10^{-3}\)。取 \(\varepsilon_{\mathrm{tail}}=8\times10^{-4}\)、 \(\varepsilon_{\mathrm{quad}}=2\times10^{-4}\)。给出一个整数截断点、有效导数界和 Simpson 网格条件。

综合练习 2：幂尾部与有限求积¶

设 \(I=\int_1^\infty x^{-2}dx\)，总容差 \(0.01\)。均分两类预算，并说明怎样选择 \(R\) 与 Simpson 的 \(M_4\)。

综合练习 3：Gaussian 的另一截断点¶

对 \(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\) 取 \(R=2\)。写出尾部界和本单元粗 \(M_4\)，但不必 计算网格数。

综合练习 4：振荡尾部的责任边界¶

设前一单元已经证明某振荡积分收敛并有 \(\left|\int_R^\infty f\right|\le2/R\)。若总容差为 \(0.02\)，给尾部预算 \(0.01\)，至少怎样选 \(R\)？余下工作是什么？

诊断练习 1：漏掉存在性¶

某报告只有“取 \(R=100\)，两个网格结果相同到六位小数”。指出至少两个缺口。

诊断练习 2：导数界区间错误¶

计算区间是 \([0,10]\)，但报告只证明 \([0,1]\) 上 \(|f^{(4)}|\le3\)，随后把 \(M_4=3\) 传入程序。问题在哪里？

诊断练习 3：预算状态误读¶

总容差 \(10^{-5}\)，尾部界 \(4\times10^{-6}\)，程序求积界 \(9\times10^{-6}\) 且返回 budget_exhausted。报告称“误差约为 \(9\times10^{-6}\)，目标基本达到”。改写为严谨结论。

边界练习 1：奇数网格预算¶

解析不等式给出 \(n\ge31.2\)，但最大允许网格数为 \(33\)。共享 Simpson 预算程序 最多能用多少段？这是否自动达标？

边界练习 2：零四阶导数¶

截断区间上的被积函数是三次多项式，且尾部另有严格界。有限求积需要怎样的网格？

核验练习 1：精确值回验¶

指数基准得到 \(Q_{10}=0.9999546\)，解析总界为 \(9.5\times10^{-5}\)。怎样使用 精确值 \(1\) 做独立核验？

核验练习 2：函数求值次数¶

复合 Simpson 在 \(n=84\) 时应使用多少个不同节点？为什么记录这个数字？

核验练习 3：第二种规则交叉检查¶

同一截断区间上，Simpson 结果与梯形结果都落在各自已证明的误差区间内。怎样交叉 检查最终结论？

常见误区与后续¶

• 还没证明反常积分收敛，就把截断网格稳定当成存在性；
• 只给总容差，不写尾部误差预算与求积误差预算；
• 选择了 \(R\)，却没有证明该点之后的尾部界；
• 只抽样导数，未证明整个有限区间上的导数界；
• 忘记把 Simpson 网格向上调整为正偶数；
• 忽略 budget_exhausted，或把当前有效界说成目标已经达到；
• 把相邻网格差、图像稳定或精确值回验当成总误差证书；
• 把解析截断与求积界说成同时覆盖浮点舍入误差。

本章止于逐端点 Riemann 反常积分、解析尾部界和固定复合求积证书。无穷级数判别、 幂级数展开、一致收敛、Euler–Maclaurin、Romberg、自适应求积、Gauss 求积、 Lebesgue 积分、含参反常积分、Gamma 函数与 Beta 函数都留给后续部分。