紧致性为什么等价于闭且有界？¶
先备知识¶
掌握实数 Bolzano–Weierstrass 定理、向量序列收敛和闭集的序列刻画。
学习目标¶
- 从逐坐标抽取证明向量版 Bolzano–Weierstrass；
- 理解序列紧致性；
- 证明有限维 Heine–Borel 定理；
- 识别“闭且有界”结论的有限维边界。
牵引问题¶
一元闭区间的整体性质来自“任何序列都有收敛子列”。在多维中，逐坐标抽取会不会 破坏先前已经获得的收敛？
探索与猜想¶
先让第一坐标沿一个子列收敛，再在这个子列中让第二坐标收敛。由于坐标只有有限个， 有限次抽取后可让全部坐标同时收敛。
概念与理论¶
有限维 Bolzano–Weierstrass¶
\(\mathbb R^n\) 中每个有界序列都有收敛子列。
证明。 有界向量序列的每个坐标序列都有界。对第一坐标用实数 Bolzano–Weierstrass 得子列；在该子列中对第二坐标再抽取。有限次后得到一个子列， 其每个坐标都收敛，故向量收敛。
集合 \(K\) 称为序列紧致，若 \(K\) 中每个序列都有一个收敛到 \(K\) 中点的子列。
Heine–Borel 定理¶
对 \(K\subset\mathbb R^n\)，以下等价：
- \(K\) 紧致；
- \(K\) 序列紧致；
- \(K\) 闭且有界。
这里可先证明序列版本：若 \(K\) 闭且有界，Bolzano–Weierstrass 给出收敛子列，闭性 保证极限仍在 \(K\)。反之，若序列紧致而无界，可取 \(\|x_k\|>k\)，它没有有界 子列；若不闭，则有 \(K\) 中序列收敛到 \(K\) 外，均矛盾。有限维 Euclid 空间中， 序列紧致与开覆盖紧致等价。
有限维是关键。无限维赋范空间的闭单位球通常闭且有界却不紧致，所以本结论 不能无条件推广到无限维。
连续函数把紧集映为紧集，因此在紧集上有界并取得最大、最小值；连续函数在紧集上 也一致连续。这些结论把第三部闭区间定理推广到 \(\mathbb R^n\)。
例题与迁移¶
例 1：闭球¶
\(\overline B(0,R)\) 闭且有界，故紧致。任何其中的点列都有仍落在闭球中的收敛子列。
例 2：开球为什么不紧¶
取 \(x_k=(1-1/k,0,\ldots,0)\)。它属于单位开球，却收敛到边界点，不可能有极限仍在 开球中的子列。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
有限集合为什么紧致？
答案
任意序列必有某个值出现无穷多次，常值子列收敛于集合中的该点。
即时检验 2¶
闭性在“闭且有界推出紧致”的证明中做什么？
答案
有界性只给出收敛子列；闭性保证该子列极限仍属于原集合。
常见误区与后续¶
- 有界序列不必收敛，但在有限维中必有收敛子列。
- 紧集不是“很小的集合”；任意大半径闭球仍紧。
- 闭且有界等价紧致只在本部的有限维环境中使用。
习题与答案¶
习题 1¶
证明紧集的闭子集紧。
答案
子集中的序列也是紧集中的序列；所得收敛子列的极限由闭性仍在子集中。
习题 2¶
证明有限个紧集的并紧。
答案
任意序列至少有一个紧集包含无穷多项，再在其中抽取收敛子列。
习题 3¶
判断 \(\{x:\|x\|_2=1\}\) 是否紧。
答案
它是连续范数的闭水平集且有界，所以紧。
习题 4¶
判断 \(\mathbb Z\subset\mathbb R\) 是否紧。
答案
它闭但无界，因此不紧。
习题 5¶
给出闭但不紧的 \(\mathbb R^2\) 集合。
答案
任一直线闭但无界，故不紧。
习题 6¶
证明紧集上的连续实函数有界。
答案
若无界，取 \(|f(x_k)|>k\)；紧致性给出 \(x_{k_j}\to x\)，连续性却使函数值收敛，矛盾。
习题 7¶
为什么逐坐标抽取只需有限次？
答案
空间维数固定为 \(n\)，处理第 \(n\) 个坐标后全部坐标已同时收敛。
习题 8¶
判断 \(\{(x,y):xy=1,\ |x|\le2\}\) 是否紧。
答案
条件迫使 \(|x|\ge1/2\)，集合是闭集且坐标有界，故紧。
习题 9¶
紧集中的 Cauchy 序列为何收敛于该集？
答案
紧致性给收敛子列；Cauchy 序列若有收敛子列，则整个序列收敛到同一极限。
小结¶
有限维有界性负责产生收敛子列，闭性负责留住极限。二者合成 Heine–Borel 定理， 为多元连续函数的极值、统一控制和后续优化存在性提供基础。