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有理函数怎样通过代数分解获得原函数？

先备知识

你需要会做多项式除法、实数范围内的因式分解与待定系数比较，并熟悉

\[ \int x^n\,dx,\qquad \int \frac{1}{x-a}\,dx,\qquad \int \frac{1}{1+x^2}\,dx. \]

第 18.1 单元提醒我们：原函数是区间上的对象。有理函数分母的零点会切断定义域，因此 含绝对值的对数公式仍须在每个连通区间上分别理解。

学习目标

完成本单元后，你应当能够：

  1. 先用多项式除法把假分式化为多项式与真分式之和；
  2. 根据不同实因子写出完整的部分分式形式；
  3. 用待定系数或代入特殊值求出分子系数；
  4. 把分解后的各项归入幂函数、对数或反正切原函数；
  5. 在避开分母零点的工作区间上进行求导回验。

牵引问题

面对

\[ \int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx, \]

直接寻找一个商的原函数通常没有稳定路线。但若能把它拆成若干个简单分式，每个分式 便能交给已经掌握的基本原函数。问题由此变成两个代数问题：

  • 分子次数是否已经低于分母次数？
  • 分母在实数范围内有哪些线性因子和不可约二次因子？

探索与猜想

例如

\[ \frac{3x+5}{x^2+x-2} \]

的分母可写为 \((x-1)(x+2)\)。若猜想

\[ \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}, \]

那么原来的微积分问题就降为求 \(A,B\) 的线性方程问题。这里真正提供进展的是代数 结构：复杂分母被分解后，每一项都出现可识别的链式因子。

概念与理论

约化顺序：先除后拆

若 \(\deg P\geq\deg Q\)，先做多项式除法：

\[ P(x)=S(x)Q(x)+R(x),\qquad \deg R<\deg Q. \]

于是

\[ \frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}. \]

只有余下的真分式 \(R/Q\) 才进入部分分式分解。跳过这一步往往会列出不完整或无解的 待定系数方程。

实因子与部分分式形式

设真分式的分母已经在实数范围内分解。每种因子必须贡献下列全部项：

分母中的因子 部分分式中必须列出的项 恢复原函数时的主要结构
互异线性因子 \(x-a\) \(\dfrac{A}{x-a}\) (\log
重线性因子 \((x-a)^m\) \(\dfrac{A_1}{x-a}+\cdots+\dfrac{A_m}{(x-a)^m}\) 对数与负整数幂
不可约二次因子 \(q(x)\) \(\dfrac{Ax+B}{q(x)}\) 分母导数项与配方后的反正切项
\(q(x)^m\) \(\dfrac{A_1x+B_1}{q(x)}+\cdots+\dfrac{A_mx+B_m}{q(x)^m}\) 逐层处理，不能漏项

“不可约二次”是指判别式小于零，因而在实数范围内没有线性因子。分子必须取一般的一次 式 \(Ax+B\)，不能只写常数。

部分分式定理

定理。 设 \(P,Q\) 是实系数多项式，\(\deg P<\deg Q\)，且 \(Q\) 已分解为实线性 因子与实不可约二次因子的乘积（允许重数）。则 \(P/Q\) 可唯一表示为上表所列全部对应 项之和。

说明。 该结论的存在性来自多项式的互素分解；把等式两边乘以 \(Q\) 后，问题化为 一个次数受控的多项式恒等式。比较系数得到有限线性方程组。唯一性可由“两个分解相减” 后比较各因子对应的系数得到。本单元使用这一高等代数结论，并把重点放在正确列式和 求解上。

从二次分母中提取分母导数

对

\[ \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}, \]

先把分子写成分母导数 \(2ax+b\) 的倍数加常数。前一部分经换元产生对数；后一部分把 二次式配方后，归入反正切型。这个动作比死记一个大公式更可靠。

例题与迁移

例 1：互异线性因子

在不穿过 \(-2,1\) 的区间上求

\[ \int\frac{3x+5}{x^2+x-2}\,dx. \]

因为 \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\)，设

\[ \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}. \]

通分比较分子：

\[ 3x+5=(A+B)x+(2A-B). \]

故

\[ A+B=3,\qquad 2A-B=5, \]

从而 \(A=8/3,\ B=1/3\)。因此

\[ \int\frac{3x+5}{x^2+x-2}\,dx =\frac83\log|x-1|+\frac13\log|x+2|+C. \]
答案

在每个工作区间上求导：

\[ \frac{8}{3(x-1)}+\frac{1}{3(x+2)} =\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}. \]

这同时完成系数和定义域的回验。

例 2：重线性因子

求

\[ \int\frac{1}{x(x-1)^2}\,dx. \]

完整分解必须写成

\[ \frac{1}{x(x-1)^2} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}. \]

乘以 \(x(x-1)^2\)，代入 \(x=0,1\)，再比较最高次项，得到

\[ A=1,\qquad C=1,\qquad B=-1. \]

所以

\[ \int\frac{1}{x(x-1)^2}\,dx =\log|x|-\log|x-1|-\frac{1}{x-1}+C. \]
答案

最后一项容易写错符号：

\[ \left(-\frac{1}{x-1}\right)'=\frac{1}{(x-1)^2}. \]

三项相加后通分，便恢复原函数的导数。

例 3：不可约二次因子

求

\[ \int\frac{2x+5}{x^2+4}\,dx. \]

把分子拆为 \(2x+5\)：

\[ \int\frac{2x}{x^2+4}\,dx +5\int\frac{1}{x^2+4}\,dx. \]

第一项令 \(u=x^2+4\)，第二项用 \(\int dx/(x^2+a^2)=a^{-1}\arctan(x/a)+C\)，得到

\[ \log(x^2+4)+\frac52\arctan\frac{x}{2}+C. \]
答案

求导回验：

\[ \frac{2x}{x^2+4} +\frac52\cdot\frac{1/2}{1+x^2/4} =\frac{2x+5}{x^2+4}. \]

即时检验与回望

即时检验 1

为什么 \((Ax+B)/(x^2+1)\) 的分子不能预先只写成常数？

答案

一般分子可能同时含有分母导数方向 \(2x\) 和与它独立的常数方向。只写常数会漏掉 产生对数原函数的那一部分，待定系数方程也未必有解。

即时检验 2

对 \((x^3+1)/(x^2+1)\) 应先做什么？

答案

先做多项式除法：

\[ \frac{x^3+1}{x^2+1}=x+\frac{1-x}{x^2+1}. \]

余下部分才是真分式。

习题与答案

练习 1：假分式约化

求

\[ \int\frac{x^2+1}{x-1}\,dx. \]
答案

多项式除法给出

\[ \frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}. \]

因而答案为

\[ \frac{x^2}{2}+x+2\log|x-1|+C. \]

练习 2：互异线性因子

求

\[ \int\frac{2x+3}{x^2+x-2}\,dx. \]
答案

设为 \(A/(x-1)+B/(x+2)\)，得到 \(A+B=2,\ 2A-B=3\)，故 \(A=5/3,\ B=1/3\)。答案为

\[ \frac53\log|x-1|+\frac13\log|x+2|+C. \]

练习 3：不要漏掉重数项

求

\[ \int\frac{1}{x(x+1)^2}\,dx. \]
答案

完整分解为

\[ \frac1x-\frac1{x+1}-\frac1{(x+1)^2}. \]

所以答案是

\[ \log|x|-\log|x+1|+\frac1{x+1}+C. \]

练习 4：分子就是分母导数的一部分

求

\[ \int\frac{x}{x^2+4}\,dx. \]
答案

令 \(u=x^2+4\)，有

\[ \int\frac{x}{x^2+4}\,dx=\frac12\log(x^2+4)+C. \]

分母恒正，不需要绝对值；写绝对值也不影响其定义域上的导数。

练习 5：线性因子与二次因子并存

求

\[ \int\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}\,dx. \]
答案

设

\[ \frac{1}{(x-1)(x^2+1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}. \]

比较系数得 \(A=1/2,\ B=C=-1/2\)。于是

\[ \frac12\log|x-1| -\frac14\log(x^2+1) -\frac12\arctan x+C. \]

常见误区与后续

  1. 假分式直接拆。 先做多项式除法，确保余项是真分式。
  2. 重因子只列一项。 \((x-a)^m\) 必须从一次幂一直列到 \(m\) 次幂。
  3. 二次因子的分子只写常数。 一般形式必须是一次式。
  4. 只代特殊点，不比较剩余系数。 特殊点不够时要补做系数比较。
  5. 忽略分母零点。 一个公式不能跨过原函数没有定义的点共享同一个常数。
  6. 分解后不求导回验。 回验应同时检查系数、符号和工作区间。

下一单元把幂函数、换元、分部积分与有理分解混合排列，训练在没有题型标签时识别结构 并解释失败路线。