x-型与 y-型区域怎样写出积分限？¶

先备知识¶

掌握平面曲线、坐标投影和矩形上的累次积分。

学习目标¶

把区域几何翻译成外变量范围和内变量上下界。

牵引问题¶

非矩形区域不能给两个变量都写常数上下限；积分限从哪里来？

探索与猜想¶

先把区域投影到一条坐标轴，再沿垂直于该轴的截线读出进入与离开区域的位置。

概念与理论¶

若

\[ D=\{(x,y):a\le x\le b,\ \phi(x)\le y\le\psi(x)\}, \]

称为 x-型区域，积分为

\[ \iint_Df\,dA=\int_a^b\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)\,dy\,dx. \]

外层 \([a,b]\) 是 \(x\)-轴投影，内层上下界必须满足 \(\phi\le\psi\)。类似地，

\[ D=\{(x,y):c\le y\le d,\ \alpha(y)\le x\le\beta(y)\} \]

是 y-型区域。积分限是区域描述，不是从被积函数猜出的。

证明把区域嵌入矩形并对零延拓使用累次积分；边界属于正文允许的分片光滑类型。

例题与迁移¶

例 1：抛物线下方¶

\(0\le x\le1,\ 0\le y\le x^2\) 是 x-型区域，面积为 \(\int_0^1\int_0^{x^2}1\,dy\,dx=1/3\)。

例 2：单位圆盘¶

圆盘既可写为 \(-1\le x\le1,\ -\sqrt{1-x^2}\le y\le\sqrt{1-x^2}\)，也可交换角色。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

外层范围为什么来自投影？

答案

外变量必须遍历区域在该轴上所有可能坐标，恰是投影。

即时检验 2¶

内层下界大于上界意味着什么？

答案

区域描述错误或该外变量处截线为空，不能当作普通区域积分。

常见误区与后续¶

画图后再写积分限。
x-型是先对 \(y\) 积，不是先对 \(x\) 积。
一个区域可能需要分成有限块。

习题与答案¶

习题 1¶

写出三角形 \(0\le y\le x\le1\) 的 x-型描述。

答案

\(0\le x\le1,\ 0\le y\le x\)。

习题 2¶

把上题写成 y-型。

答案

\(0\le y\le1,\ y\le x\le1\)。

习题 3¶

面积积分的被积函数是什么？

答案

\(1\)。

习题 4¶

单位圆盘的 \(x\)-投影是什么？

答案

\([-1,1]\)。

习题 5¶

\(y=x^2\) 与 \(y=x\) 在 \([0,1]\) 间谁是上界？

答案

\(x\) 是上界，\(x^2\) 是下界。

习题 6¶

写出两曲线间区域的面积积分。

答案

\(\int_0^1\int_{x^2}^{x}1\,dy\,dx\)。

习题 7¶

竖线与区域相交成两段时还是单个 x-型区域吗？

答案

一般不是，需要分片或改用 y-型描述。

习题 8¶

被积函数改变会改变区域积分限吗？

答案

不会，积分限由区域决定。

习题 9¶

为何端点处上下界相等没有问题？

答案

截线退化为一点，对积分没有面积贡献。

习题 10¶

描述积分限前的检查清单是什么？

答案

画区域、求投影、沿截线找下上界、检查全范围内次序。