Carathéodory 判据怎样定义可测集合？¶

先备知识¶

熟悉外测度次可加性和集合分割。

学习目标¶

用不增加外测度的分裂性质定义可测集合。

牵引问题¶

哪些集合可以像一把干净的刀，把任意测试集的大小精确分成两部分？

探索与猜想¶

次可加性永远给一个方向；可测性要求反方向对每个测试集也成立。

概念与理论¶

障碍¶

外测度在所有集合上不必可加，不能直接称为测度。

证明路线¶

要求集合 (E) 对任意测试集 (T) 实现精确分裂。

逐步证明¶

集合 (E\subseteq\mathbb R) 称为 Carathéodory 可测，若对任意测试集 (T\subseteq\mathbb R)，

\[ m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\setminus E). \]

次可加性总给 \(m^*(T)\le m^*(T\cap E)+m^*(T\setminus E)\)，所以只需证明反向。判据必须检查任意 (T)，不能只检查区间、有限集或数值样本。

若 (m^(E)=0)，则单调性给 (m^(T\cap E)=0)，又由 \(T=(T\cap E)\cup(T\setminus E)\) 的次可加性得

\[ m^*(T)\le m^*(T\setminus E)\le m^*(T), \]

故等号成立，所有零测集都可测。

假设用在何处¶

任意测试集量词确保后续可以反复切割；零测性把一侧贡献压到零。

失败边界¶

满足有限个测试集的等式不够；Carathéodory 判据不是可计算的有限抽样测试。

例题与迁移¶

例 1：空集¶

空集外测度为零，因而可测。

例 2：补集对称¶

判据交换 (E) 与 (E^c) 时两项对调，因此 (E) 可测当且仅当 (E^c) 可测。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

判据中谁是任意测试集？

答案

(T)；被判断是否可测的是 (E)。

即时检验 2¶

为何只需证明大于等于方向？

答案

小于等于方向已由外测度次可加性自动成立。

常见误区与后续¶

“外测度有限”不等于可测。
判据筛选集合；下一单元证明筛出的集合形成 σ-代数。

习题与答案¶

习题 1¶

写出 Carathéodory 等式。

答案

对任意 (T)，(m^(T)=m^(T\cap E)+m^*(T\setminus E))。

习题 2¶

哪一方向由次可加性给出？

答案

左边不超过右边。

习题 3¶

为什么零测集可测？

答案

测试集落在零测集中的部分外测度为零。

习题 4¶

可只测试 (T=E) 吗？

答案

不可，定义要求所有测试集。

习题 5¶

补集为何保持可测？

答案

分裂的两部分只交换顺序。

习题 6¶

空集可测吗？

答案

可测。

习题 7¶

全集可测吗？

答案

可测，分裂为 (T) 与空集。

习题 8¶

有限采样能证明可测吗？

答案

不能，它没有覆盖任意测试集量词。

习题 9¶

外测度为零的子集是否也为零？

答案

是，由单调性。

习题 10¶

本判据是否已证明可测集对可数并封闭？

答案

尚未，下一单元证明。