高阶局部信息怎样形成 Peano 展开？¶

先备知识¶

你需要会使用：

可导的局部线性化 \(f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)\)；
高阶导数与阶乘；
Lagrange 中值定理；
小 \(o\) 的定义：\(r(h)=o(h^n)\) 表示 \(r(h)/h^n\to0\)。

本页只研究 \(x\to a\) 的局部渐近，不承诺给某个固定点提供数值误差上界。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

写出任意中心的 Taylor 多项式；
在逐阶可导条件下证明 Peano 余项；
说明归纳证明为什么同时覆盖 \(x>a\) 与 \(x<a\)；
证明 Peano 展开的系数唯一；
判断高阶导数不存在时展开必须停在哪一阶。

牵引问题¶

可导告诉我们

\[ f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h). \]

若还知道 \(f''(a),f'''(a)\)，应当怎样补上二次、三次项？更重要的是，为什么系数必须分别是 \(f''(a)/2!\)、\(f'''(a)/3!\)，而不是某组碰巧有效的数字？

探索与猜想¶

设

\[ P_n(x)=c_0+c_1(x-a)+\cdots+c_n(x-a)^n. \]

希望 \(f-P_n\) 在 \(a\) 处不仅函数值为零，而且前 \(n\) 阶导数也都为零。逐次令

\[ P_n^{(k)}(a)=f^{(k)}(a) \]

便得到 \(k!c_k=f^{(k)}(a)\)。这提示系数应为 \(f^{(k)}(a)/k!\)。接下来的难点是：只有展开点的逐阶可导信息，怎样把这些零导数转成一个真正的 \(o((x-a)^n)\) 余项？

概念与理论¶

定义：任意中心的 Taylor 多项式¶

若 \(f^{(k)}(a)\) 对 \(0\le k\le n\) 有定义，称

\[ P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \]

为 \(f\) 在 \(a\) 处的 \(n\) 阶 Taylor 多项式，并记

\[ R_n(x)=f(x)-P_n(x). \]

这里 \(f^{(0)}=f\)，且 \(0!=1\)。

条件：在一点具有直到 \(n\) 阶的可导结构¶

我们递归理解这个条件：

\(n=1\) 时，\(f\) 在 \(a\) 可导；
\(n\ge2\) 时，\(f'\) 在 \(a\) 的某个邻域存在，并且 \(f'\) 在 \(a\) 具有直到 \(n-1\) 阶的可导结构。

因此归纳步骤能在 \(a\) 与附近的 \(x\) 之间使用 Lagrange 中值定理。它不要求最高阶导函数在展开点连续，也不要求 \(f^{(n)}\) 在整个去心邻域存在。

定理：带 Peano 余项的 Taylor 公式¶

若 \(f\) 在 \(a\) 具有直到 \(n\) 阶的可导结构，则

\[ f(x)=P_n(x)+o\!\left((x-a)^n\right),\qquad x\to a. \]

证明障碍。 \(f^{(n)}(a)\) 存在，并不意味着最高阶导函数在邻域连续；所以不能偷偷调用一个更强的连续性假设。我们只沿递归条件向下一阶，并使用 Lagrange 中值定理。

证明。 对 \(n\) 归纳。

当 \(n=1\) 时，结论就是可导的等价形式

\[ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a). \]

设结论对 \(n-1\) 成立，并令

\[ G(x)=f(x)-P_n(x). \]

显然 \(G(a)=0\)。在 \(a\) 附近，

\[ G'(t)=f'(t)-P_n'(t). \]

而 \(P_n'\) 正是 \(f'\) 在 \(a\) 处的 \(n-1\) 阶 Taylor 多项式。把归纳假设用于 \(f'\)，得到

\[ G'(t)=o\!\left((t-a)^{n-1}\right). \]

对任意充分靠近且不等于 \(a\) 的 \(x\)，在端点 \(a,x\) 所确定的闭区间上使用 Lagrange 中值定理。存在严格位于两端之间的 \(\xi\)，使

\[ G(x)-G(a)=G'(\xi)(x-a), \]

即

\[ G(x)=G'(\xi)(x-a). \]

无论 \(x>a\) 还是 \(x<a\)，中间点都满足

\[ |\xi-a|\le |x-a|, \]

并且当 \(x\to a\) 时 \(\xi\to a\)。写成绝对值后，

\[ \frac{|G(x)|}{|x-a|^n} = \frac{|G'(\xi)|}{|\xi-a|^{n-1}} \left(\frac{|\xi-a|}{|x-a|}\right)^{n-1} \le \frac{|G'(\xi)|}{|\xi-a|^{n-1}} \longrightarrow0. \]

由于 \(\xi\) 严格位于 \(a,x\) 之间，分母不为零。于是 \(G(x)=o((x-a)^n)\)，归纳完成。\(\square\)

定理：Peano 展开系数唯一¶

在同样的逐阶可导条件下，若

\[ f(a+h)=c_0+c_1h+\cdots+c_nh^n+o(h^n), \]

则

\[ c_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\qquad(0\le k\le n). \]

证明。 Peano 定理已经给出标准展开

\[ f(a+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n). \]

两式相减。若系数并非全相同，令 \(j\) 是第一个不同的下标，并记

\[ d_j=c_j-\frac{f^{(j)}(a)}{j!}\ne0. \]

消去更低次项后除以 \(h^j\)，得到

\[ d_j+d_{j+1}h+\cdots+d_nh^{n-j}=o(h^{n-j}). \]

令 \(h\to0\)，左边趋于 \(d_j\ne0\)，右边趋于零，矛盾。因此所有系数都唯一。

这里真正使用的是余项为 \(o(h^n)\)，而不是含义模糊的“高阶小量”；把系数识别为导数还使用了开头的逐阶可导条件。\(\square\)

例题与迁移¶

例题1：\(e^x\) 与 \(\sin x\) 的局部展开¶

在 \(a=0\) 处，\(e^x\) 的各阶导数都等于 1，因此

\[ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3). \]

\(\sin x\) 的导数按 \(\sin,\cos,-\sin,-\cos\) 循环，所以

\[ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3). \]

缺少的偶次项不是遗忘，而是相应导数在零点为零。

例题2：用 Peano 展开求局部极限¶

求

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}. \]

由三阶 Peano 展开，

\[ e^x-1-x-\frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{6}+o(x^3). \]

除以 \(x^3\) 后得到极限 \(1/6\)。这里目标只是极限，不需要知道 \(x=0.1\) 时误差到底小于多少。

边界例：高阶导数不存在时必须停下¶

令 \(f(x)=|x|^3\)。它在零点二阶可导，且

\[ f(0)=f'(0)=f''(0)=0, \]

所以可以写 \(f(x)=o(x^2)\)。但 \(f''(x)=6|x|\) 在零点不可导，三阶导数不存在，不能声称存在由 \(f'''(0)\) 决定的三阶 Taylor 项。

即时检验与回望¶

即时检验1¶

写出 \(\cos x\) 在零点的四阶 Peano 展开。

答案

零点处导数依次为 \(1,0,-1,0,1\)，所以

\[ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4). \]

即时检验2¶

为什么证明中必须写 \(|\xi-a|\le|x-a|\)，而不能只写 \(0<\xi-a<x-a\)？

答案

后一个不等式只在 \(x>a\) 时成立。当 \(x<a\) 时，\(\xi-a\) 与 \(x-a\) 都为负。绝对值不等式统一表达“\(\xi\) 位于两端之间”，并给出归纳估计所需的 \(|\xi-a|/|x-a|\le1\)。

回看牵引问题：逐阶消去在展开点的导数，确实得到阶数越来越高的局部多项式。阶乘来自对幂函数反复求导；Peano 定理和最低次非零项论证又说明这些系数没有选择余地。

习题与答案¶

习题1：非零中心¶

写出 \(\ln x\) 在 \(a=1\) 处的三阶 Peano 展开。

答案

令 \(h=x-1\)。因为 \(f(1)=0,f'(1)=1,f''(1)=-1,f'''(1)=2\)，所以

\[ \ln x=h-\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{3}+o(h^3). \]

习题2：识别系数¶

已知 \(f\) 在零点三阶可导且

\[ f(x)=2-3x+5x^2-7x^3+o(x^3). \]

求 \(f(0),f'(0),f''(0),f'''(0)\)。

答案

系数分别等于 \(f^{(k)}(0)/k!\)。因此

\[ f(0)=2,\quad f'(0)=-3,\quad f''(0)=2!\cdot5=10, \quad f'''(0)=3!\cdot(-7)=-42. \]

习题3：局部极限¶

计算

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}. \]

答案

\[ \sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3), \]

因而所求极限为 \(-1/6\)。

习题4：最低次项矛盾¶

若 \(a_0+a_1h+a_2h^2=o(h^2)\)，证明 \(a_0=a_1=a_2=0\)。

答案

先令 \(h\to0\) 得 \(a_0=0\)。对剩余等式除以 \(h\)，再令 \(h\to0\)，得 \(a_1=0\)。最后除以 \(h^2\) 得 \(a_2=o(1)\)，令 \(h\to0\) 得 \(a_2=0\)。这就是一般最低次非零项论证的三阶版本。

习题5：Peano 能保证什么¶

从 \(e^x=1+x+o(x)\) 能否直接断言 \(x=0.1\) 时 \(|e^x-(1+x)|<10^{-3}\)？

答案

不能。\(o(x)\) 描述 \(x\to0\) 时误差与 \(x\) 的比值趋于零，但没有给出从哪个邻域开始小于指定常数，也没有给出 \(x=0.1\) 的可计算上界。下一单元将用区间上的高阶导数界建立这种保证。

常见误区与后续¶

把“\(f^{(n)}(a)\) 存在”擅自加强成最高阶导函数连续；
忘记 Taylor 系数包含 \(k!\)；
把 \(o((x-a)^n)\) 当成某个固定点的显式数值上界；
从有限阶公式直接跳到无穷 Taylor 级数。

下一单元加强区间条件，换取能计算的 Lagrange 余项上界。