三维旋度为什么表示局部环流密度？¶

先备知识¶

掌握偏导、叉积、第二类曲线积分与有向闭路环流。

学习目标¶

能由三个坐标小矩形的正向环流推导旋度，并说明余项怎样控制极限。

牵引问题¶

一个向量场在一点附近“拧转”的轴向与强度，怎样由越来越小的环流测出？

探索与猜想¶

固定单位法向后按右手规则走小矩形；环流除以面积的极限应给出沿该法向的旋度分量。

概念与理论¶

三维旋度¶

设 \(F=(P,Q,R)\in C^1\)。定义

它不是无向的“转速”：分量符号依赖取向。以 \(e_z\) 为法向时，右手规则规定从 \(e_z\) 尖端看去逆时针为正向。

小坐标矩形推导¶

取以 \((x_0,y_0,z_0)\) 为左下角、边长 \(h,k>0\) 的 \(xy\) 小坐标矩形，按 \(+e_z\) 诱导的正向行进。一阶展开并保留余项后，四边环流为

这里水平两边的 \(P\) 项相减给出 \(-P_yhk+o(hk)\)，竖直两边的 \(Q\) 项相减给出 \(Q_xhk+o(hk)\)；连续偏导使各边一阶展开的余项合计仍是 \(o(hk)\)。除以矩形面积 \(hk\)，令 \(h,k\to0\)，归一化环流趋于 \(Q_x-P_y=\operatorname{curl}F\cdot e_z\)。 在 \(yz\)、\(zx\) 平面同理得到 \(R_y-Q_z\)、\(P_z-R_x\)。因此对坐标单位法向， 旋度的法向分量就是局部环流密度。

边界与迁移¶

推导使用 \(C^1\) 正则性控制余项，只建立坐标矩形极限；一般曲面上的整体等式要由 Stokes 公式证明。反转法向会反转边界取向，环流与法向分量同时变号。

例题与迁移¶

例 1：刚体旋转¶

取 \(F=(-y,x,0)\)，则 \(\operatorname{curl}F=(0,0,2)\)。边长 \(h,k\) 的正向 \(xy\) 矩形环流是 \(2hk\)，除以面积恰为 \(2\)。

例 2：无局部旋转场¶

取 \(F=(2x,2y,2z)=\nabla(x^2+y^2+z^2)\)，各交叉偏导相消，旋度为零；这与闭路 积分为零一致，但这里的直接依据是势函数与曲线积分基本定理。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(F=(0,0,xy)\) 的旋度是多少？

即时检验 2¶

若把 \(xy\) 小矩形方向反转，归一化环流怎样变化？

常见误区与后续¶

• 旋度为向量，局部环流密度是它在所选法向上的分量。
• 画出的旋涡图不能替代余项极限。

习题与答案¶

习题 1¶

求 \(F=(-y,x,z)\) 的旋度。

习题 2¶

求 \(F=(yz,zx,xy)\) 的旋度。

习题 3¶

\(+e_x\) 对应哪个坐标平面？

习题 4¶

\(xy\) 平面正向环流密度是哪一分量？

习题 5¶

为何必须除以面积？

习题 6¶

余项需要满足什么量级？

习题 7¶

法向反转会怎样？

习题 8¶

局部极限是否已经证明一般 Stokes 公式？