函数逼近问题应怎样衡量误差？¶

先备知识¶

需要第 10、11 章的闭区间连续函数有界并取得最大值，以及第 25 章的一致收敛与上确界误差语言。第 26 章的幂级数只作解析函数的可选对照，不是直接前置。

学习目标¶

定义闭区间上的一致逼近误差；
正确定义给定多项式族的最佳误差下确界；
区分插值、最小二乘、逐点逼近和一致逼近；
解释节点增加为何不自动改善一致误差；
把一般区间仿射变换到 \([0,1]\)。

牵引问题¶

一个多项式在采样点上完全吻合，是否表示它在整个区间都接近目标函数？“平均不错” 与“最坏点也不错”分别回答什么问题？

探索与猜想¶

有限样本只约束有限位置。若目标是全域可靠，就必须直接控制所有点误差的上确界，而不能用节点误差或网格最大值替代。

概念与理论¶

一致误差¶

对 \(f,p\in C([a,b])\)，定义

\[ \|f-p\|_{\infty,[a,b]}=\max_{x\in[a,b]}|f(x)-p(x)|. \]

最大值存在来自闭区间连续函数的最值定理。若一列多项式 \(p_n\) 的该误差趋零，就称 \(p_n\) 一致逼近 \(f\)。

最佳误差下确界¶

对候选族 \(\mathcal P\)，定义

\[ E(f;\mathcal P)=\inf_{p\in\mathcal P}\|f-p\|_\infty. \]

这是最佳误差下确界；定义本身不保证取得最小值，也不保证存在某个“最佳元”。

四类任务¶

任务	主要条件或目标	不自动保证
插值	指定节点处相等	节点间误差小
最小二乘	样本或积分平方误差小	最坏点误差小
逐点逼近	每个固定点误差趋零	一个统一截断阶数
一致逼近	全区间上确界误差趋零	次数最优

Runge 型边界¶

对 \(f(x)=1/(1+25x^2)\) 在 \([-1,1]\) 上作等距节点高次插值，节点数增加时端点附近可出现更强振荡。节点误差始终为零，但一致误差可能增大。这一 Runge 型现象说明 “插值节点更多”不自动推出一致逼近改善。

一般区间通过

\[ t=\frac{x-a}{b-a},\qquad x=a+(b-a)t \]

仿射变换到 \([0,1]\)。误差值不变，但 Lipschitz 常数等正则性参数要按尺度换算。

例题与迁移¶

例 1：常数逼近¶

用常数 \(c\) 逼近 \(f(x)=x\) 于 \([0,1]\)，一致误差为 \(\max\{|c|,|1-c|\}\)，在 \(c=1/2\) 取最小值 \(1/2\)。

例 2：网格误差的局限¶

程序在 101 个点上看到最大误差 \(10^{-4}\)，只能报告网格观测；除非另有正则性界，不能断言真实一致误差不超过 \(10^{-4}\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

插值多项式在节点上的误差是多少？

答案

为零，但节点间误差仍可能很大。

即时检验 2¶

最佳误差定义为何使用下确界？

答案

候选误差集合总有下确界，但最小误差未必由某个候选实际取得。

习题与答案¶

习题 1¶

写出一致误差的定义。

答案

闭区间上 \(|f-p|\) 的最大值。

习题 2¶

逐点收敛是否推出一致误差趋零？

答案

不推出；最坏点可随次数移动。

习题 3¶

最小二乘误差小是否保证一致误差小？

答案

不保证；局部尖峰可对平均量贡献很小，却有很大最大误差。

习题 4¶

为什么连续性保证一致误差最大值存在？

答案

\(|f-p|\) 在紧闭区间上连续，故取得最大值。

习题 5¶

写出 \([2,5]\) 到 \([0,1]\) 的变换。

答案

\(t=(x-2)/3\)，反变换 \(x=2+3t\)。

习题 6¶

Runge 现象反驳了什么说法？

答案

等距插值节点越多，一致误差必越小。

习题 7¶

网格最大误差何时可升级为证书？

答案

只有结合能控制网格间行为的已证明正则性界时。

习题 8¶

一致逼近是否要求每个多项式插值目标函数？

答案

不要求；它只要求全域最大误差趋零。

常见误区与后续¶

节点精确、平均精确和全域可靠是不同目标。
最佳误差下确界不等于已经证明最佳元存在。
下一单元构造不依赖插值节点求解的 Bernstein 多项式。