第 23 章：数项级数的收敛与正项判别¶
第 22 章把反常积分解释为有限区间积分的极限，并用 Cauchy 尾部控制无穷远处的贡献。 现在把“无限累积”离散化：一个无穷和不是一次完成的加法，而是部分和数列的极限。 本章先完整处理实数项级数共有的部分和语言和正项级数，不借后续函数项级数解释判别法。
本章共5个核心单元，8.5学时（理论6.5，应用2）。
学习路径¶
- 无限求和怎样由部分和定义？ （理论 1.25，应用 0.25）
- Cauchy 尾部判据怎样控制无限求和？ （理论 1.50，应用 0.25）
- 正项级数怎样通过比较判断收敛？ （理论 1.25，应用 0.50）
- 局部增长率怎样产生比值与根值判别？ （理论 1.25，应用 0.50）
- 积分与凝聚怎样提供判别和余项证书？ （理论 1.25，应用 0.50）
一条尾部控制路线¶
\[
\text{部分和}
\longrightarrow
\text{Cauchy 尾部}
\longrightarrow
\text{正项级数}
\longrightarrow
\text{比较判别}
\longrightarrow
\text{比值与根值}
\longrightarrow
\text{积分与凝聚}
\longrightarrow
\text{余项证书}.
\]
定义把问题交给部分和数列；Cauchy 尾部把未知极限改写成任意有限尾段的统一控制。 正项使部分和单调，比较判别把未知级数交给基准级数；比值与根值寻找最终几何控制； 积分与凝聚处理变化缓慢的边界族，并在保留不等式时给出余项证书。
三层证据不能混用¶
- 有限观察： 部分和在某段区间变化很小，只是数值现象。
- 收敛证明： 判别法的全部条件成立，推出部分和极限存在。
- 误差证书： 在收敛之外还有显式尾项上界，能反解截断预算。
程序可以执行有限求和并代入已经证明的界，却不能替学习者证明单调性、比较关系或判别 条件。相邻部分和差变小也不等于任意尾段都小。
输入、输出与边界¶
本章继承第二部的数列极限、Cauchy 准则、单调收敛与上极限，并调用第五部的正常积分 处理积分判别。第 22 章只提供连续变量的类比，本章的每个离散判别都重新证明。
本章输出部分和、Cauchy 尾部、正项比较、比值与根值、积分与凝聚判别及条件性余项 证书。第 24 章才引入符号抵消、绝对与条件收敛、重排和乘积；函数项级数从第 25 章 重新开始。因此本章不把正项判别混写成后续章节的附录。
章末自测¶
- 为什么无穷和必须由部分和定义？
- 通项趋于零为什么只是必要条件？
- Cauchy 判据为何控制任意有限尾段？
- 正项级数为什么可转化为部分和有上界？
- 直接比较的收敛与发散方向分别是什么？
- 极限比较为什么要求正有限极限？
- 比值或根值等于 \(1\) 时为什么没有结论？
- 上极限版本怎样处理局部比值不稳定？
- 积分判别为何需要最终非负与单调递减？
- 一个数值近似何时才能附带严格误差证书？