参数求导怎样产生含对数因子的积分与敏感性公式？¶

先备知识¶

熟悉反常积分号下求导定理和 Gamma、Beta 收敛证明。

学习目标¶

能解释对数因子的来源，并在紧参数矩形上验证一致收敛。

牵引问题¶

对幂指数求导时，为什么被积函数会多出 \(\log x\)？

探索与猜想¶

\(\partial_s x^{s-1}=x^{s-1}\log x\)，形式导数须通过一致尾项审计。

概念与理论¶

Gamma 敏感性¶

在任意紧区间 \(0<\alpha\le s\le\beta\) 上，分别控制零端的 \(x^{\alpha-1}|\log x|\) 与无穷端的 \(x^{\beta-1}e^{-x}\log x\)，得到导数积分一致收敛。因此

\[ \Gamma'(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\log x\,dx. \]

Beta 敏感性¶

在正参数象限内任意紧矩形上，两端比较给出一致收敛，从而

\[ \partial_pB(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\log x\,dx, \]

\[ \partial_qB(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\log(1-x)\,dx. \]

参数求导产生对数因子；敏感性公式的关键是第 44 章条件。

例题与迁移¶

例 1：Gamma 在 1 处¶

\(\Gamma'(1)=\int_0^\infty e^{-x}\log x\,dx\)。

例 2：Beta 偏导¶

\(\partial_pB(p,1)=\frac d{dp}(1/p)=-1/p^2\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么参数需留在紧子区间？

答案

远离零边界才能统一控制端点幂次。

即时检验 2¶

对 \(q\) 求导产生什么？

答案

\(\log(1-x)\)。

常见误区与后续¶

对数无界并不自动导致发散，需与正幂共同比较。
高阶参数导数需重复核查更高次对数因子。

习题与答案¶

习题 1¶

\(\partial_sx^{s-1}\) 是什么？

答案

\(x^{s-1}\log x\)。

习题 2¶

Gamma 导数核是什么？

答案

\(x^{s-1}e^{-x}\log x\)。

习题 3¶

零端用哪个参数界？

答案

紧区间的下界 \(\alpha>0\)。

习题 4¶

无穷端用哪个参数界？

答案

紧区间的上界 \(\beta\)。

习题 5¶

\(\partial_pB\) 多出什么？

答案

\(\log x\)。

习题 6¶

\(\partial_qB\) 多出什么？

答案

\(\log(1-x)\)。

习题 7¶

形式求导足够吗？

答案

不足够，必须证明导数积分一致收敛。

习题 8¶

为什么正参数边界危险？

答案

参数趋零时端点幂控制退化。

习题 9¶

\(\partial_pB(p,1)\) 是多少？

答案

\(-1/p^2\)。

习题 10¶

证明接口来自哪里？

答案

第 44 章反常积分号下求导定理。