第 19 章：Riemann 积分与可积性¶

第 18 章从导数规则反向寻找原函数，但“某个表达式能否求出原函数”与“有限取样能否 稳定地逼近一个累积总量”是两个不同问题。本章重新从分割和有限和出发，不借助原函数 定义积分。

本章共4个核心单元，7.5学时（理论6，应用1.5）。

学习路径¶

1. 怎样用分割和上下和夹住未知总量？ （理论 1.50，应用 0.25）
2. Riemann 和何时拥有与取样无关的极限？ （理论 1.50，应用 0.25）
3. 哪些函数可积，证明障碍在哪里？ （理论 1.75，应用 0.25）
4. 可积函数的代数、序与区间结构怎样传递？ （理论 1.25，应用 0.75）

本章双入口¶

本章采用一条兼顾直觉与证明的路线：

取样和说明“局部取值乘小区间长度再相加”的来源；上下和则一次控制所有可能的取样。 两者不是两套互不相干的积分，而是将在第 19.2 单元证明等价的两种组织方式。

证明阶梯¶

• 第 19.1 单元建立分割、标记、网格、上下和、加细与公共加细；
• 第 19.2 单元给出 Darboux 判据与 Riemann 和定义，处理量词和公共加细误差；
• 第 19.3 单元用一致连续性、单调性与有限异常区间证明典型函数可积；
• 第 19.4 单元建立代数封闭、保序估计和区间可加性。

继承、输出与边界¶

本章继承第一部的确界原理、第二部的极限量词与夹逼、第 11 章的闭区间一致连续性。第 18 章提供的符号积分方法不参与本章可积性证明。

本章输出的是有界函数在闭区间上的 Riemann 积分。无界函数、无穷区间、一般间断点 判据和数值求积误差都留待后续。第 20 章才建立累积积分与导数、原函数之间的联系。

章末自测¶

完成本章后，你应能回答：

1. 为什么某一列等距左端点和收敛还不足以证明可积？
2. 网格很小为什么不等于加细某个固定分割？
3. 上下和差怎样同时控制所有标记取样？
4. 连续函数可积为什么需要闭区间一致连续？
5. 单调函数即使有跳跃，为什么仍可给出显式误差控制？
6. 哪些积分性质可以只从分割定义推出？

能够对这些问题写出量词、估计与证明依赖，才算真正建立了 Riemann 积分的逻辑基础。