矩形上的二重积分为什么可以逐次计算？¶

先备知识¶

掌握闭矩形上的二重积分、连续可积性和一元积分。

学习目标¶

理解降维公式不是符号约定，而是由同一组 Riemann 和证明的定理。

牵引问题¶

先沿竖线累积、再沿横向累积，为什么等于同时细分整个矩形？

探索与猜想¶

对每个固定 \(x\)，先求竖截面的积分 \(F(x)\)。若 \(F\) 连续，就能再对 \(x\) 积分；双重和的结合次序则把这个累次和还原为二维 Riemann 和。

概念与理论¶

连续矩形上的累次积分定理¶

若 \(f\) 在闭矩形 \(R=[a,b]\times[c,d]\) 上连续，则

\[ \iint_R f\,dA =\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx =\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy. \]

完整证明。 令 \(F(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy\)。一致连续性给出

\[ |F(x)-F(x')|\le(d-c)\sup_y|f(x,y)-f(x',y)|, \]

故 \(F\) 连续。对横纵分割，在每条竖带选 \(x_i^\ast\)，内层一元积分可由 \(\sum_j f(x_i^\ast,y_{ij}^\ast)\Delta y_j\) 任意逼近；再乘 \(\Delta x_i\) 求和，得到同一闭矩形上的二维 Riemann 和。让纵向网格、横向网格依次趋零，取样无关性给出第一式。交换 \(x,y\) 完成第二式。证毕。

这里没有使用测度论版 Fubini–Tonelli；结论范围就是上述连续情形。

例题与迁移¶

例 1：可分离函数¶

\(\iint_{[0,1]^2}xy\,dA=\int_0^1x(\int_0^1y\,dy)dx=1/4\)。

例 2：换序核验¶

对 \(x+2y\)，两种次序分别得到相同的多项式端点值；相等来自定理，不是巧合。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

内层积分为何是外变量的连续函数？

答案

用闭矩形上一致连续性控制被积函数差，再用积分绝对值估计。

即时检验 2¶

本定理能否直接用于无界函数？

答案

不能；本单元只证明闭矩形上的连续函数情形。

常见误区与后续¶

\(dx\,dy\) 的次序对应内外积分，不能只看书写习惯。
先验证区域是矩形；一般区域在下一单元处理。
对反常积分换序需要额外条件，本章不机械推广。

习题与答案¶

习题 1¶

计算 \(\iint_{[0,1]\times[0,2]}1\,dA\)。

答案

等于矩形面积 \(2\)。

习题 2¶

计算 \(\iint xy\,dA\) 于上述矩形。

答案

\((\int_0^1x\,dx)(\int_0^2y\,dy)=1\)。

习题 3¶

为何可分离函数的积分可分成乘积？

答案

在累次积分中，与内变量无关的因子可提出，再用线性。

习题 4¶

连续性是否只用于保证每条截线可积？

答案

不只如此，还用于证明内层积分随外变量连续。

习题 5¶

两种次序结果不同说明什么？

答案

至少有计算、积分限或定理条件检查发生错误。

习题 6¶

写出先 \(x\) 后 \(y\) 的公式。

答案

\(\int_c^d(\int_a^bf(x,y)\,dx)dy\)。

习题 7¶

为何证明中使用公共分割？

答案

它让累次有限和与二维 Riemann 和逐项一致。

习题 8¶

闭矩形上连续函数的累次积分是否都存在？

答案

是；截线连续，内层存在且所得函数连续，外层也存在。

习题 9¶

本定理为何不能称作一般 Fubini 定理？

答案

它只覆盖连续函数与闭矩形，没有建立一般可积函数或测度空间结论。