导数映射怎样满足代数规则和链式法则？¶

先备知识¶

掌握 Fréchet 余项合同和线性映射复合。

学习目标¶

1. 推导导数代数规则；2. 证明链式法则；3. 通过定义域、值域检查矩阵顺序。

牵引问题¶

多层模型的局部误差怎样传递？矩阵乘法不可交换，链式法则的顺序由什么决定？

探索与猜想¶

若 \(f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\)，\(g:\mathbb R^m\to\mathbb R^p\)，线性近似自然 依次作用：先 \(Df(a)\)，再 \(Dg(f(a))\)。

概念与理论¶

和、标量倍及双线性乘积规则都从余项展开得到。例如实值乘积

链式法则¶

若 \(f\) 在 \(a\) 可微，\(g\) 在 \(f(a)\) 可微，则

证明。 写 \(f(a+h)=f(a)+Ah+r(h)\)，再写

代入 \(k=Ah+r(h)\)。线性项为 \(BAh\)；\(Br(h)=o(\|h\|)\)。又因 \(k=O(\|h\|)\)，有 \(s(k)=o(\|k\|)=o(\|h\|)\)。

坐标中，若 \(J_f(a)\) 为 \(m\times n\)，\(J_g(f(a))\) 为 \(p\times m\)，则

结果为 \(p\times n\)。定义域和值域强制了矩阵乘法顺序。

例题与迁移¶

例 1：标量外函数¶

若 \(g(u)=e^u\)，则 \(D(e^f)(a)h=e^{f(a)}Df(a)h\)。

例 2：坐标变换¶

先旋转再投影的导数是“投影矩阵 × 旋转矩阵”，顺序与实际数据流一致。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(Df\) 为 \(3\times2\)、\(Dg\) 为 \(4\times3\)，复合导数尺寸为何？

即时检验 2¶

链式法则为何需要 \(g\) 在 \(f(a)\) 可微？

常见误区与后续¶

• 矩阵顺序由映射复合决定，不能因标量公式习惯而反写。
• 仅有方向导数时不能直接套 Fréchet 链式法则。
• 余项证明必须用可微推出的局部 \(O(\|h\|)\) 控制。

习题与答案¶

习题 1¶

证明常数倍法则。

习题 2¶

证明和法则。

习题 3¶

写出 \(f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3\) Jacobian 的尺寸。

习题 4¶

求 \(g(f(x))\) 在 \(f(x)=\|x\|^2,g(u)=u^3\) 时的导数。

习题 5¶

矩阵乘法顺序怎样用尺寸排除错误？

习题 6¶

若 \(f\) 线性，链式法则怎样简化？

习题 7¶

证明倒数法则需要什么额外条件？

习题 8¶

解释数据流与导数流的关系。

习题 9¶

为何 \(s(k)=o(\|k\|)\) 可转成 \(o(\|h\|)\)？

小结¶

导数规则是线性项和高阶余项的代数。链式法则的映射顺序、矩阵尺寸和数据流完全一致。