第 13 章：导数、微分与局部线性模型¶

第三部告诉我们，连续性能够保证中间值和零点存在，也能把异号区间变成二分证书。 但连续性并不描述函数在一点附近“变化得多快”，更不能直接告诉我们怎样用一条直线预测 邻近函数值。本章从割线的平均变化率出发，建立有限导数，再把导数提升为一阶局部线性 模型。

本章问题¶

局部变化率怎样成为可验证的线性模型？

本章共4个核心单元，7学时（理论5.5，应用1.5）。

1. 平均变化率怎样逼近瞬时变化率？
2. 差商极限何时存在，何时失败？
3. 可导为什么等价于一阶局部线性化？
4. 局部线性模型怎样预测增量、误差与敏感性？

依赖与产出¶

本章直接使用第三部的函数极限、单侧极限与连续性语言。完成本章后，读者应当能够：

• 从定义判断一点处的有限导数是否存在；
• 区分双侧导数、单侧导数、尖点、振荡和无限斜率；
• 把可导性改写成“线性主部加高阶小量”；
• 用局部线性模型解释近似、误差传播和敏感性。

后续章节将在这套局部语言上建立求导法则、微分中值定理、Taylor 公式和 Newton 方法； 这些后续工具不参与本章核心结论的证明。