导数能否反向恢复原函数？¶

先备知识¶

你需要会使用第 14 章的求导法则，并能调用第 15.2 单元的两个结论：

若函数在区间上导数恒为零，则它在该区间上为常数；
导数具有 Darboux 性质，即使导函数不连续，也不会跳过中间值。

“区间”是本页的重要条件。若定义域被一个缺失点分成两段，同一条证明可能只能分别作用在每一段上。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

准确陈述函数 \(f\) 在区间上的原函数；
证明同一区间上的任意两个原函数相差一个常数；
解释不定积分记号表示原函数族，而不是一个唯一函数；
在互不相连的区间上分别处理任意常数；
用导数 Darboux 性质识别一种原函数不存在的障碍。

牵引问题¶

求导是确定性的：给定可导函数 \(F\)，导函数 \(F'\) 唯一。但反向问题不同：

\[ F'(x)=2x \]

既可以由 \(x^2\) 产生，也可以由 \(x^2+7\)、\(x^2-\pi\) 产生。反向恢复究竟能确定什么？是否每个函数都能成为某个导函数？

探索与猜想¶

比较三种情况：

\(2x\) 有明显原函数 \(x^2\)；
\(1/x\) 在 \(x>0\) 与 \(x<0\) 上都能由 \(\log|x|\) 产生，但定义域不连通；
从 \(-1\) 突然跳到 \(1\) 的阶跃函数不能是任何导函数。

因此必须分开讨论：存在性、非唯一性和定义域结构。

概念与理论¶

原函数与不定积分记号¶

设 \(I\) 是实数区间，\(f:I\to\mathbb R\)。若函数 \(F:I\to\mathbb R\) 在 \(I\) 的内点可导、在端点使用相应单侧导数，并满足

\[ F'(x)=f(x)\qquad(x\in I), \]

就称 \(F\) 是 \(f\) 在 \(I\) 上的一个原函数。

若已经找到一个原函数 \(F\)，记号

\[ \int f(x)\,dx=F(x)+C \]

表示所有由 \(F\) 加常数得到的原函数族。这里的 \(C\) 是在当前工作区间上固定的实常数； \(dx\) 提醒我们自变量是 \(x\)。这个积分号目前只是一种原函数族记号。

原函数为什么只差常数¶

定理。 设 \(F,G\) 都是 \(f\) 在同一区间 \(I\) 上的原函数，则存在常数 \(C\)，使得

\[ F(x)=G(x)+C\qquad(x\in I). \]

证明。 令 \(H=F-G\)。在 \(I\) 的每个内点，

\[ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0. \]

第 15.2 单元已经证明，区间上导数恒为零的函数必为常数。因此存在固定的 \(C\)，使 \(H(x)=C\) 对所有 \(x\in I\) 成立，即 \(F=G+C\)。证毕。

证明中“同一区间”不能删掉。若定义域有多个互不相连的分支，常值定理只能在每个分支上分别使用。

基本原函数表来自求导回验¶

\(f(x)\)	一个原函数 \(F(x)\)	工作区间或条件
\(x^\alpha\), \(\alpha\ne-1\)	\(x^{\alpha+1}/(\alpha+1)\)	取表达式有定义且可导的区间
\(1/x\)	(\log	x
\(e^x\)	\(e^x\)	\(\mathbb R\)
\(\cos x\)	\(\sin x\)	\(\mathbb R\)
\(\sin x\)	\(-\cos x\)	\(\mathbb R\)
\(1/(1+x^2)\)	\(\arctan x\)	\(\mathbb R\)

每一行都必须通过求导验证。例如

\[ \frac{d}{dx}\log|x|=\frac1x \]

只在 \(x\ne0\) 的两个分支上有意义。

不连通定义域允许不同常数¶

在 \(D=\mathbb R\setminus\{0\}\) 上，\(1/x\) 的一般原函数可以写成

\[ F(x)= \begin{cases} \log|x|+C_-,&x<0,\\ \log|x|+C_+,&x>0, \end{cases} \]

其中 \(C_-\) 与 \(C_+\) 可以不同。不能把“在区间上相差一个常数”擅自升级为“在任意定义域上只有一个全局常数”。

例题与迁移¶

例 1：从导数恢复一个原函数¶

求 \(f(x)=3x^2-2x+1\) 在 \(\mathbb R\) 上的所有原函数。

逐项反向识别幂函数导数：

\[ F(x)=x^3-x^2+x. \]

求导回验：

\[ F'(x)=3x^2-2x+1=f(x). \]

所以所有原函数为

\[ x^3-x^2+x+C,\qquad C\in\mathbb R. \]

答案

一个原函数是 \(x^3-x^2+x\)。由常数差定理，在连通区间 \(\mathbb R\) 上的所有原函数恰为 \(x^3-x^2+x+C\)。

例 2：跳跃为什么阻止原函数存在¶

定义

\[ s(x)= \begin{cases} -1,&x<0,\\ 1,&x\ge0. \end{cases} \]

假设存在 \(F:\mathbb R\to\mathbb R\) 使 \(F'=s\)。那么导函数 \(F'\) 在 \(-1\) 与 \(1\) 之间必须取得 \(0\)，这是导数的 Darboux 性质。但 \(s\) 从不等于 \(0\)，矛盾。因此 \(s\) 没有原函数。

Darboux 性质在这里给出的是必要条件，不是充分条件：本章不声称每个具有介值性质的函数都必定是某个导函数。

答案

若 \(s=F'\)，导数的介值性要求在跨过原点的任意小区间内取得 \(-1\) 与 \(1\) 之间的所有值，尤其是 \(0\)。阶跃函数没有这个值，所以不存在这样的 \(F\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(x^2+1\) 与 \(x^2-5\) 是否都是 \(2x\) 在 \(\mathbb R\) 上的原函数？它们相差多少？

答案

两者导数都为 \(2x\)，并且

\[ (x^2+1)-(x^2-5)=6. \]

它们相差常数 \(6\)。

即时检验 2¶

为什么 \(1/x\) 在 \(\mathbb R\setminus\{0\}\) 上的原函数不能只写成 \(\log|x|+C\) 并声称同一个 \(C\) 覆盖全部情况？

答案

因为定义域分成 \(x<0\) 与 \(x>0\) 两个互不相连的区间。常数差定理分别作用于两段，所以可以有独立的 \(C_-\) 与 \(C_+\)。

习题与答案¶

练习 1：幂函数族¶

求 \(4x^3-6x\) 在 \(\mathbb R\) 上的所有原函数。

答案

一个原函数是 \(x^4-3x^2\)，所以全部原函数为

\[ x^4-3x^2+C. \]

练习 2：指数函数¶

求 \(2e^{2x}\) 的所有原函数，并回验。

答案

\[ \frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}, \]

所以答案为 \(e^{2x}+C\)。

练习 3：三角函数¶

求 \(3\cos x-2\sin x\) 的所有原函数。

答案

\[ 3\sin x+2\cos x+C, \]

因为 \((3\sin x+2\cos x)'=3\cos x-2\sin x\)。

练习 4：分支常数¶

构造 \(1/x\) 在 \(\mathbb R\setminus\{0\}\) 上的一个原函数，使它在 \(x<0\) 时比 \(\log|x|\) 大 \(2\)，在 \(x>0\) 时比 \(\log|x|\) 小 \(3\)。

答案

\[ F(x)= \begin{cases} \log|x|+2,&x<0,\\ \log|x|-3,&x>0. \end{cases} \]

两段上都有 \(F'(x)=1/x\)。

练习 5：错误命题辨析¶

判断：“只要 \(F'=G'\)，就存在一个实数 \(C\) 使 \(F=G+C\) 在整个共同定义域上成立。”

答案

命题缺少共同定义域为区间的条件。在不连通定义域上，每个连通分支可以有不同常数。正确版本是：若 \(F'=G'\) 在同一区间上成立，则二者在该区间上相差一个常数。

常见误区与后续¶

把一个原函数写成唯一答案。 必须加上当前区间上的任意常数。
忽略区间。 不连通定义域上的不同分支可以选择不同常数。
把必要条件当充分条件。 Darboux 障碍能排除某些函数，但本页没有给出完整存在判据。
混淆存在与初等表示。 没找到熟悉公式，不等于原函数不存在。
不做回验。 反向识别得到的候选必须重新求导。

下一单元将从链式法则出发处理形如 \(f(g(x))g'(x)\) 的结构。第 19 章才会给积分赋予分割极限的含义；本页只研究导数的逆问题。