微分为什么需要比积分更强的条件？¶

先备知识¶

需要闭区间上的微积分基本定理、上一单元的积分交换，以及一致 Cauchy 判据。

学习目标¶

准确陈述导数交换的全部条件；
用导数列的统一控制和一个基点值控制原函数列；
证明极限函数可微且导数等于导数极限；
用反例说明函数列一致收敛仍不足以逐项求导；
比较连续、积分与微分交换的条件强弱。

牵引问题¶

函数值彼此很接近并不约束局部斜率。若斜率列统一稳定，还需要什么信息才能排除每个函数相差一个任意常数？

探索与猜想¶

导数只决定函数到常数。选择一个基点 \(x_0\)，函数值差可写成基点差加导数差的积分：

\[ f_n(x)-f_m(x)=f_n(x_0)-f_m(x_0)+\int_{x_0}^{x}(f_n'-f_m'). \]

这同时解释了基点条件和导数一致收敛为何足够。

概念与理论¶

导数与极限交换¶

定理。 设每个 \(f_n\in C^1([a,b])\)，导数列 \(f_n'\) 一致收敛到 \(g\)，并且存在一个基点 \(x_0\in[a,b]\)，使数列 \(f_n(x_0)\) 收敛。则 \(f_n\) 一致收敛到某个可微函数 \(f\)，且 \(f'=g\)。

证明。 基点值列是 Cauchy；导数列一致收敛，因而一致 Cauchy。由微积分基本定理，

\[ |f_n(x)-f_m(x)| \le |f_n(x_0)-f_m(x_0)| +(b-a)\|f_n'-f_m'\|_{\infty,[a,b]}. \]

右端与 \(x\) 无关并趋零，所以 \(f_n\) 一致 Cauchy，进而一致收敛到 \(f\)。

对每个 \(n\)，

\[ f_n(x)=f_n(x_0)+\int_{x_0}^{x}f_n'(t)\,dt. \]

让 \(n\to\infty\)，用导数列的一致收敛和积分交换，得到

\[ f(x)=c+\int_{x_0}^{x}g(t)\,dt. \]

一致极限 \(g\) 连续，微积分基本定理遂给出 \(f'(x)=g(x)\)。证毕。

一致收敛本身不够¶

在 \([-1,1]\) 上令

\[ f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac1n}. \]

因

\[ 0\le f_n(x)-|x|\le\frac1{\sqrt n}, \]

所以这是“一致收敛但极限不可微”的例子：\(f_n\) 一致收敛到 \(|x|\)，但极限在 \(0\) 不可微。导数列 \(f_n'(x)=x/\sqrt{x^2+1/n}\) 也不一致收敛。故“可微函数列一致收敛即可逐项求导” 是错误命题。

另一现象是 \(f_n(x)=\sin(nx)/n\) 在任意有限区间上一致趋零，但 \(f_n'(x)=\cos(nx)\) 不收敛。函数值小并不意味着斜率稳定。

交换条件对照¶

目标	本章充分条件	核心控制
保持连续	连续函数列一致收敛	同一中间函数
交换 Riemann 积分	可积函数列一致收敛	区间长度乘统一误差
交换微分	\(C^1([a,b])\)、导数列一致收敛、一个基点值收敛	导数积分加常数

例题与迁移¶

例 1：由导数误差得到函数误差¶

若 \(f_n(x_0)=f(x_0)\) 且 \(\|f_n'-g\|_\infty\le\eta_n\)，则构造 \(F(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^xg\) 后有 \(\|f_n-F\|_\infty\le(b-a)\eta_n\)。

例 2：缺失基点的常数漂移¶

令 \(f_n(x)=n\)。导数列恒为零并一致收敛，但任何基点上的 \(f_n(x_0)=n\) 都不收敛，原函数列也不收敛。导数控制无法看见常数漂移。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么只需一个基点值收敛？

答案

导数积分可把该点的控制传到整个闭区间。

即时检验 2¶

若导数列只逐点收敛，定理还能直接使用吗？

答案

不能；证明需要导数差的统一积分界。

即时检验 3¶

\(\sin(nx)/n\) 的极限导数与导数列各怎样？

答案

极限函数为零，导数为零；导数列 \(\cos(nx)\) 一般不收敛。

习题与答案¶

习题 1¶

写出导数交换定理的三个核心假设。

答案

每个 \(f_n\in C^1([a,b])\)、\(f_n'\) 一致收敛、某个基点值列收敛。

习题 2¶

证明中怎样得到 \(f_n\) 一致 Cauchy？

答案

用基点差加区间长度乘导数的统一差控制全域误差。

习题 3¶

基点条件能否删除？

答案

不能；常数函数 \(f_n=n\) 的导数都为零，但函数列发散。

习题 4¶

为什么要求 \(g\) 连续？

答案

它作为连续导数列的一致极限自动连续，从而可用微积分基本定理求积分函数的导数。

习题 5¶

\(\sqrt{x^2+1/n}\) 的统一误差界是什么？

答案

不超过 \(1/\sqrt n\)。

习题 6¶

该例极限为何不可微？

答案

极限为 \(|x|\)，在零点左右导数分别为 \(-1\) 与 \(1\)。

习题 7¶

若 \(f_n'\to g\) 一致且 \(f_n(a)=0\)，如何写极限函数？

答案

\(f(x)=\int_a^xg(t)\,dt\)。

习题 8¶

函数列一致收敛是否保证导数列有界？

答案

不保证；\(\sin(nx)/n\) 的导数振荡且不收敛。

习题 9¶

导数列一致收敛是否单独保证原函数列一致收敛？

答案

不保证；还需一个基点值列收敛以固定常数。

习题 10¶

微分交换为何比积分交换条件更强？

答案

微分放大局部变化，需要直接控制导数；积分会平均误差，只需函数值统一控制。

常见误区与后续¶

一致收敛的可微函数列，其极限仍可能不可微。
导数列稳定只能确定函数到一个常数，基点条件不可缺。
第 26 章将把本章定理用于特殊的级数表示，但仍须逐条验证条件。