误差如何穿过一次迭代？¶

先备知识¶

倒数误差的核心步骤是先让分母远离零。本单元沿用这个思想研究映射

\[ g(x)=\frac1{2+x}. \]

我们只用代数恒等式与区间界，量化“一次输入误差经过一次更新后怎样变化”。不使用导数，也不在这里证明无限迭代收敛。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

用加减同一中间量构造代数误差分解；
在指定区间上证明 Lipschitz 型估计；
用短程序检查一步误差比，但区分样本与全区间证明；
说明一步缩小、存在不动点与迭代收敛是三个不同命题。

牵引问题¶

若两个输入 \(x,y\) 已经很近，\(g(x),g(y)\) 是否更近？直接相减得到

\[ |g(x)-g(y)|=\frac{|x-y|}{|2+x|\,|2+y|}. \]

答案取决于输入所在区域：只有分母有统一正下界，才能得到对所有输入都有效的固定缩小因子。

探索与猜想¶

在 \([0,1]\) 上，\(2+x\ge2\) 且 \(2+y\ge2\)，于是输出差不超过输入差的四分之一。这个结论比检查若干数值对更强，因为它同时覆盖该区间内无穷多个输入；但它仍只描述一次更新，不自动覆盖无限次迭代的全部逻辑。

概念与理论¶

代数误差分解¶

比较复合表达式 \(F(x)\) 与 \(F(y)\) 时，先通过恒等变形把输出差写成“输入差乘系数”。例如

\[ \frac1{2+x}-\frac1{2+y} =\frac{y-x}{(2+x)(2+y)}. \]

另一种常用形式是加入并减去中间量：

\[ uv-u_0v_0=u(v-v_0)+v_0(u-u_0). \]

恒等式负责暴露误差来源；对系数作区间估计，才把它变成统一上界。

定义：区间上的 Lipschitz 估计¶

若存在 \(K\ge0\)，使对区间 \(I\) 中任意 \(x,y\) 都有

\[ |F(x)-F(y)|\le K|x-y|, \]

就说 \(F\) 在 \(I\) 上满足常数为 \(K\) 的 Lipschitz 估计。这里它只是一条代数不等式；本单元不借助微分工具寻找 \(K\)。

命题：主映射的一步误差传递¶

对任意 \(x,y\in[0,1]\)，

\[ |g(x)-g(y)|=\frac{|x-y|}{(2+x)(2+y)} \le\frac14|x-y|. \]

证明。 在 \([0,1]\) 上两个分母因子均为正且至少为 \(2\)，故其乘积至少为 \(4\)。代入精确差分公式即得结论。\(\square\)

此外，\(0\le x\le1\) 推出 \(2\le2+x\le3\)，正数取倒数反向，得到

\[ \frac13\le g(x)\le\frac12. \]

所以 \(g([0,1])\subseteq[1/3,1/2]\subseteq[0,1]\)。这叫区间在一次映射下保持不变。

一步证书的逻辑边界¶

若某个 \(\ell\in[0,1]\) 已满足 \(g(\ell)=\ell\)，则对 \(x\in[0,1]\)，

\[ |g(x)-\ell|=|g(x)-g(\ell)|\le\frac14|x-\ell|. \]

这说明已知目标点存在时，一次更新会把到该点的误差至多缩为四分之一。但本章尚未仅凭这条式子证明：

这样的 \(\ell\) 必定存在；
从给定初值生成的每一步都处于可用区间；
无限序列形成 Cauchy 数列并收敛；
第 \(n\) 步误差满足什么可认证上界。

本例的区间保持性解决了第 2 点，其他结论及其组合将在第 8 章完成。这里不得把“一次迭代缩小”直接改写成“迭代已经收敛”。

例题与迁移¶

例 1：精确误差比与统一上界¶

取 \(x=0,y=1\)，则

\[ |g(0)-g(1)|=\left|\frac12-\frac13\right|=\frac16, \]

而 \(|x-y|/4=1/4\)。具体误差比为 \(1/6\)，小于统一常数 \(1/4\)。统一上界不必对每一对输入都取等号，它的价值是对区间内所有输入同时有效。

例 2：用程序审查样本而不替代证明¶

下面的程序计算有限网格上的一步误差比：

def g(x):
    return 1 / (2 + x)

grid = [k / 10 for k in range(11)]
ratios = [
    abs(g(x) - g(y)) / abs(x - y)
    for x in grid for y in grid if x != y
]
print(max(ratios))

输出可以帮助发现程序错误或提示上界，但有限网格没有覆盖 \([0,1]\) 的所有实数。证书仍是分母乘积至少为 \(4\) 的代数证明。

即时检验与回望¶

为什么不能把常数 \(1/4\) 用于任意实数 \(x,y\)？

答案

当输入靠近 \(-2\) 时，\(|2+x|\) 或 \(|2+y|\) 可任意小，甚至等于零；分母乘积不再有下界 \(4\)，输出差可能被放大。因此常数必须连同适用区间一起陈述。

已证明 \(|g(x)-g(y)|\le|x-y|/4\)，是否已证明不动点存在？

答案

没有。这条式子比较两个已给输入的输出；存在性要求先证明某个 \(\ell\) 满足 \(g(\ell)=\ell\)。即使存在候选点，还需把区间保持、无限迭代与完备性连接起来才能得到收敛证书，这留到第 8 章。

习题与答案¶

习题 1：验证像区间¶

证明 \(g([0,1])\subseteq[1/3,1/2]\)。

答案

若 \(0\le x\le1\)，则 \(2\le2+x\le3\)。三者均为正，取倒数反向，得到

\[ \frac13\le\frac1{2+x}\le\frac12. \]

故每个 \(x\in[0,1]\) 的像都在 \([1/3,1/2]\) 中。

习题 2：更小区间上的常数¶

对 \(x,y\in[1/3,1/2]\)，给出由分母下界直接得到的 Lipschitz 常数。

答案

\(2+x\ge7/3\) 且 \(2+y\ge7/3\)，所以

\[ |g(x)-g(y)| \le\frac{1}{(7/3)^2}|x-y| =\frac9{49}|x-y|. \]

因此可取 \(K=9/49\)，它比 \(1/4\) 更小。

习题 3：加入中间量¶

证明对任意实数 \(u,v,u_0,v_0\)，

\[ |uv-u_0v_0|\le |u|\,|v-v_0|+|v_0|\,|u-u_0|. \]

答案

加入并减去 \(uv_0\)：

\[ uv-u_0v_0=u(v-v_0)+v_0(u-u_0). \]

两边取绝对值并使用三角不等式与 \(|rs|=|r||s|\)，即得所需上界。

习题 4：相对已知不动点的一步估计¶

假设 \(\ell\in[0,1]\) 且 \(g(\ell)=\ell\)。若 \(x\in[0,1]\) 且 \(|x-\ell|\le0.08\)，证明 \(|g(x)-\ell|\le0.02\)。

答案

因为 \(g(\ell)=\ell\) 且 \(x,\ell\in[0,1]\)，一步估计给出

这仍是假设目标点已知后的一步结论。

习题 5：审查越界推理¶

有人说：“\(g\) 在 \([0,1]\) 上把距离缩为至多四分之一，所以从任意实数初值出发都收敛。”指出至少两个逻辑缺口。

答案

第一，估计只在 \([0,1]\) 上证明，任意实数初值未必位于该区间，甚至可能使分母为零。第二，一步距离缩小尚未单独证明目标不动点存在，也未完成无限迭代的 Cauchy 与收敛论证。若初值在 \([0,1]\)，虽已有区间保持性，仍应在第 8 章用完整定理连接这些事实。

常见误区与后续¶

把样本最大值当作全区间常数。 有限网格只能检验样本；统一常数必须来自覆盖整个区间的不等式。
省略适用区域。 Lipschitz 常数与区间绑定，接近分母零点时原估计会失效。
把一步估计当作无限过程。 一步缩小、区间保持、不动点存在和迭代收敛是不同命题。
偷用微分工具。 本单元的常数完全来自代数差分和分母下界。第 8 章将用完备性把这些局部材料组装为收敛与误差证书。