第 17 章：凸性、优化、函数形态与 Newton 方法¶

前四章从差商建立导数，用求导法则扩展工具，以中值定理连接局部和整体，再用有限阶 Taylor 公式控制局部近似。本章完成第四部最后一次升级：导数不仅描述一个点附近的 变化，还能组织函数的整体形态、证明全局最优性，并构造快速但需要保护的求根算法。

本章共4个核心单元，8学时（理论4.5，应用3.5）。

1. 导数怎样还原函数的增减、极值与弯曲形态？ （理论 1.50，应用 0.50）
2. 凸性为何能把局部极小升级为整体极小？ （理论 1.50，应用 0.50）
3. Newton 迭代为什么可能快速收敛，也可能失败？ （理论 1.25，应用 0.75）
4. 怎样实现具有保护机制和停止证书的 Newton 算法？ （理论 0.25，应用 1.75）

本章证明阶梯¶

• 第 17.1 单元复用第 15.2 的单调性与 Fermat 结论，新增一阶变号判别、二阶判别和 拐点的准确边界；
• 第 17.2 单元从弦不等式证明支撑线、导数单调等价和严格凸极小点唯一性；
• 第 17.3 单元分别证明强区间条件下的单调收敛、简单根附近的局部二次收敛和重根 降阶；
• 第 17.4 单元用变号区间保护 Newton 候选，证明最坏收缩并给出中点误差证书。

四个案例怎样贯穿¶

1. \(e^x-x\) 把二阶导数、严格凸、支撑线和唯一整体极小点连成一条证明；
2. \(x^3-x-1\) 展示纯 Newton 在条件良好时的正常收敛与简单根速度；
3. \(x^3-2x+2\) 从 \(0\) 出发形成二周期，并推动保护型算法登场；
4. \((x-1)^2\) 说明光滑并不足以保证二次收敛，重根会使普通 Newton 降为线性。

这些案例不是孤立计算。每一个都承担一项定理条件或失败边界的解释任务。

继承、输出与边界¶

本章继承：

• 第 12 章的介值定理、变号区间与认证二分法；
• 第 15 章的 Fermat 定理、单调性判据和中值定理；
• 第 16 章的 Peano、Lagrange Taylor 公式及局部误差展开。

本章输出：

• 一元函数完整形态分析流程；
• 凸性、严格凸性与一元全局优化判据；
• Newton 区间收敛、局部二次收敛和重根降阶定理；
• src/mathbook_examples/newton.py 中经过测试的纯 Newton 与保护型 Newton；
• 对存在、唯一、迭代收敛、误差证书和速度的统一比较。

第 18 章将从导数反向寻找原函数，并进入积分方法。本章不引入积分型余项、无穷级数或多元方法， 也不把有限数值轨迹当作凸性、唯一性或收敛证明。

章末自测¶

完成本章后，请检查自己能否分别回答：

1. 存在性： 哪条条件保证根或极小点至少存在？
2. 唯一性： 单调性或严格凸性怎样排除第二个解？
3. 收敛性： 是区间强条件、局部邻域条件，还是括区间收缩保证迭代？
4. 误差： 当前数字只有小残差，还是具有针对返回值的可验证误差上界？
5. 速度： 所称的二次收敛是否明确限定为简单根附近的局部结论？
6. 算法： converged、certified、reason 与 step_types 各自说明什么？

如果这六个问题能够分开回答，第四部的“局部变化怎样产生整体信息”就已经形成闭环。