跳转至

两个函数的变化率怎样进行严格比较？

先备知识

你需要掌握 Rolle、Lagrange 和 Darboux 定理，并能严格区分：

  • 一个分式写出来以前，分母必须已经证明非零；
  • “存在某个 \(c\)”中的 \(c\) 由定理产生，不能事后要求它满足额外条件；
  • 两次分别使用 Lagrange 定理通常产生两个不同的中间点。

学习目标

完成本单元后，你应当能够：

  1. 从端点增量构造 Cauchy 中值定理的辅助函数；
  2. 先证明不含除法的交叉乘积形式；
  3. 在充分的非零条件下推出比值形式；
  4. 解释 Cauchy 定理怎样把两个函数的总变化率与同一点的局部变化率联系起来；
  5. 识别端点增量或导数为零时的除法漏洞。

牵引问题

一条参数曲线用

\[ x=f(t),\qquad y=g(t) \]

描述。端点之间的总变化比为

\[ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}. \]

它是否等于某个同一时刻的瞬时变化比 \(f'(c)/g'(c)\)？

分别对 \(f\) 与 \(g\) 使用 Lagrange 定理，只能得到两个可能不同的点，不能把所得导数 擅自相除。要保证两个导数来自同一个 \(c\)，需要一次性构造同时包含两个函数的辅助 函数。

探索与猜想

记

\[ \Delta f=f(b)-f(a),\qquad \Delta g=g(b)-g(a). \]

希望得到

\[ \Delta f\,g'(c)=\Delta g\,f'(c). \]

如果构造一个导数为

\[ H'(x)=\Delta g\,f'(x)-\Delta f\,g'(x) \]

的函数，并安排 \(H(a)=H(b)\)，Rolle 定理就能迫使 \(H'(c)=0\)。自然的选择是

\[ H(x)=\Delta g[f(x)-f(a)]-\Delta f[g(x)-g(a)]. \]

这个思路从一开始就没有除法，因此即使某个增量为零也仍然合法。

概念与理论

定理：Cauchy 中值定理的交叉乘积形式

设 \(f,g\) 都在 \([a,b]\) 上连续、在 \((a,b)\) 上可导，并且 \(a<b\)。则至少 存在一点 \(c\in(a,b)\)，使

\[ [f(b)-f(a)]g'(c) =[g(b)-g(a)]f'(c). \]

证明障碍。 分别使用两次 Lagrange 定理不能保证出现同一个中间点。若一开始写比值， 还可能在没有依据时除以零。

证明。 构造

\[ \begin{aligned} H(x) ={}&[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]\\ &-[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]. \end{aligned} \]

由 \(f,g\) 的连续与可导性，\(H\) 在 \([a,b]\) 连续、在 \((a,b)\) 可导。并且

\[ H(a)=0, \]
\[ \begin{aligned} H(b) ={}&[g(b)-g(a)][f(b)-f(a)]\\ &-[f(b)-f(a)][g(b)-g(a)] =0. \end{aligned} \]

由 Rolle 定理，存在 \(c\in(a,b)\) 使 \(H'(c)=0\)。计算得

\[ 0=[g(b)-g(a)]f'(c)-[f(b)-f(a)]g'(c), \]

移项即得结论。\(\square\)

交叉乘积形式是基本定理。它没有要求 \(g(b)-g(a)\ne0\)，也没有要求 \(g'(c)\ne0\)，所以不会隐藏除零问题。

推论：有条件的比值形式

在交叉乘积定理的条件之外，再假设

\[ g'(x)\ne0\qquad(x\in(a,b)). \]

则存在 \(c\in(a,b)\)，使

\[ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(c)}{g'(c)}. \]

为什么两个分母都非零？

首先，Darboux 定理说明 \(g'\) 不可能在区间内既取正值又取负值，否则它会在中间取到 零。因此 \(g'\) 在 \((a,b)\) 同号。

其次，对 \(g\) 使用 Lagrange 中值定理，存在 \(d\in(a,b)\) 使

\[ g(b)-g(a)=g'(d)(b-a). \]

右边两个因子都非零，所以 \(g(b)-g(a)\ne0\)。交叉乘积定理产生的点 \(c\in(a,b)\) 也自动满足 \(g'(c)\ne0\)。此时才可以把交叉乘积两边除以 \([g(b)-g(a)]g'(c)\)，得到比值形式。

不能对定理给出的未知点追加条件。正确做法是在应用定理前要求 \(g'\) 在整个开区间 不为零，或从其他已知条件推出所需的非零性。

Lagrange 定理是特殊情形

在 Cauchy 定理中取 \(g(x)=x\)。此时

\[ g(b)-g(a)=b-a,\qquad g'(c)=1, \]

交叉乘积形式变成

\[ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a), \]

正是 Lagrange 中值定理。这说明 Cauchy 定理不是另一条无关公式，而是把“用时间衡量 变化”推广为“用另一个函数衡量变化”。

例题与迁移

例题1：从 Cauchy 还原 Lagrange

设 \(f(x)=e^x\)、\(g(x)=x\)，区间为 \([0,1]\)。两个函数都满足 Cauchy 定理条件， 并且 \(g'(x)=1\ne0\)。比值形式给出某个 \(c\in(0,1)\)，使

\[ \frac{e-1}{1}=e^c. \]

因此

\[ c=\ln(e-1). \]

因为 \(1<e-1<e\)，所以 \(0<\ln(e-1)<1\)，位置核验成立。

例题2：参数曲线的总变化与局部变化

取

\[ f(t)=t^2,\qquad g(t)=t^3,\qquad 1\le t\le2. \]

有

\[ \Delta f=3,\qquad \Delta g=7, \]

且 \(g'(t)=3t^2>0\)，所以可以使用比值形式。定理保证某个 \(c\in(1,2)\) 满足

\[ \frac37=\frac{2c}{3c^2}=\frac2{3c}. \]

解得

\[ c=\frac{14}{9}\in(1,2). \]

交叉乘积形式给出同一计算：

\[ 3(3c^2)=7(2c). \]

分式形式更直观，但它的合法性依赖于已经核验的非零条件。

边界例：交叉乘积仍合法而比值失效

令 \(f(x)=x\)、\(g(x)=x^2\)，区间为 \([-1,1]\)。此时

\[ g(1)-g(-1)=0, \]

所以端点增量比没有定义；同时 \(g'(0)=0\)，也不满足比值推论的条件。

交叉乘积形式仍然合法。它要求某个 \(c\in(-1,1)\) 满足

\[ [f(1)-f(-1)]g'(c)=0\cdot f'(c), \]

即 \(2(2c)=0\)，取 \(c=0\) 即可。

即时检验与回望

即时检验1

对 \(f(x)=\ln x\)、\(g(x)=x^2\) 和区间 \([1,e]\)，核验比值形式条件并写出中间点 \(c\) 满足的方程。

答案

两个函数在 \([1,e]\) 连续、在 \((1,e)\) 可导，而且 \(g'(x)=2x>0\)。因此比值形式合法。它给出

\[ \frac{1}{e^2-1} =\frac{1/c}{2c} =\frac1{2c^2}. \]

所以 \(c=\sqrt{(e^2-1)/2}\)，且该正根位于 \((1,e)\)。

即时检验2

为什么分别对 \(f\) 和 \(g\) 使用 Lagrange 定理，再把两个等式相除，不能证明 Cauchy 定理？

答案

两次 Lagrange 定理只能分别保证存在 \(c_f,c_g\in(a,b)\)，使

\[ \Delta f=f'(c_f)(b-a),\qquad \Delta g=g'(c_g)(b-a). \]

相除后得到的是 \(f'(c_f)/g'(c_g)\)，两个导数一般不在同一点。Cauchy 定理的 辅助函数正是为了用一次 Rolle 定理产生同一个 \(c\)。

回看牵引问题：两个函数的总变化比确实能在充分的非零条件下等于某个同一点的局部变化 比。更基础、更安全的结论是交叉乘积形式；比值只是条件更强的推论。

习题与答案

习题1：核验辅助函数端点

对

\[ H(x)=\Delta g[f(x)-f(a)]-\Delta f[g(x)-g(a)] \]

逐步计算 \(H(a)\)、\(H(b)\) 和 \(H'(x)\)。

答案

在 \(x=a\) 时两个方括号都为零，所以 \(H(a)=0\)。在 \(x=b\) 时，

\[ H(b)=\Delta g\,\Delta f-\Delta f\,\Delta g=0. \]

在开区间内，

\[ H'(x)=\Delta g\,f'(x)-\Delta f\,g'(x). \]

Rolle 定理给出的 \(H'(c)=0\) 正好等价于交叉乘积结论。

习题2：还原 Lagrange

在交叉乘积形式中取 \(g(x)=\alpha x+\beta\)，其中 \(\alpha\ne0\)。说明所得结论仍然 等价于 Lagrange 中值定理。

答案

此时

\[ g(b)-g(a)=\alpha(b-a),\qquad g'(c)=\alpha. \]

交叉乘积变为

\[ [f(b)-f(a)]\alpha =\alpha(b-a)f'(c). \]

因 \(\alpha\ne0\)，约去它后得到 \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\)。

习题3：求 Cauchy 中间点

完成即时检验1的计算，并证明

\[ c=\sqrt{\frac{e^2-1}{2}} \]

确实属于 \((1,e)\)。

答案

因为 \(e^2>3\)，所以 \((e^2-1)/2>1\)，从而 \(c>1\)。又

\[ \frac{e^2-1}{2}<e^2 \]

等价于 \(-1<e^2\)，显然成立，所以 \(c<e\)。因此所求正根位于开区间内。

习题4：证明端点增量非零

设 \(g\) 在 \([a,b]\) 连续、在 \((a,b)\) 可导，且 \(g'(x)\ne0\) 对所有 \(x\in(a,b)\) 成立。用 Lagrange 定理证明 \(g(b)-g(a)\ne0\)。

答案

Lagrange 定理给出某个 \(d\in(a,b)\)，使

\[ g(b)-g(a)=g'(d)(b-a). \]

因为 \(g'(d)\ne0\) 且 \(b-a>0\)，右边非零，所以端点增量非零。

习题5：三个中间点通常不同

对 \(f(x)=x^2\)、\(g(x)=x^3\) 和 \([1,2]\)，分别求对 \(f\) 使用 Lagrange、 对 \(g\) 使用 Lagrange，以及使用 Cauchy 比值形式得到的中间点。

答案

对 \(f\)，端点割线斜率为 3，故 \(2c_f=3\)， \(c_f=3/2\)。对 \(g\)，割线斜率为 7，故 \(3c_g^2=7\)，\(c_g=\sqrt{7/3}\)。Cauchy 比值形式给出 \(c=14/9\)。三者都在 \((1,2)\)，但一般互不相等，因此不能把两次独立的 Lagrange 结论拼成 Cauchy 结论。

常见误区与后续

  • 先写比值再补条件。 基本定理应先写交叉乘积，所有除法都要在非零性证明之后。
  • 把两个 Lagrange 中间点当成同一点。 存在量词不能这样合并。
  • 事后要求未知 \(c\) 满足 \(g'(c)\ne0\)。 应预先要求整个开区间上 \(g'\ne0\)。
  • 认为端点增量非零自动推出内部导数不为零。 这两个条件方向不同，不能混用。

下一单元将把 Cauchy 比值形式应用在逐渐缩短或移向无穷远的区间上。这样可以把原函数之 比的极限转化为导数之比的极限，但每种未定式仍需单独证明并核验条件。