重积分换元公式需要哪些条件？¶

先备知识¶

掌握有限维 Euclid 空间完备性、局部线性化、Jacobian 伸缩、反函数定理和区域积分。

学习目标¶

在使用换元公式前核验区域、映射、Jacobian 和坐标覆盖。

牵引问题¶

只算出 Jacobian 不为零，为什么仍可能把同一区域重复计算？

探索与猜想¶

非零 Jacobian 只控制局部；还需映射在目标参数域上一一对应，并控制边界和 导数变化，才能把所有小块可靠拼回。

概念与理论¶

经典重积分换元定理¶

令 \(d=2\) 或 \(3\)。设 \(G\subset\mathbb R^d\) 是有限矩形并的内部或常用 Jordan 型 开参数域：它有界，边界由有限个分片 \(C^1\) 参数片组成。设 \(T\) 在 \(\overline G\) 的一个开邻域内为 \(C^1\)，在 \(G\) 内部一一对应，并且 \(\det DT\ne0\)；允许在边界上出现后续 坐标公式所需的有限退化片。令 \(D=T(G)\)，并设 \(f\) 在 \(\overline D\) 上连续。则

这里的积分是第 33 章定义的经典 Riemann 区域积分；二维写作二重积分，三维写作三重 积分。

引理：有限维闭立方体上的压缩¶

设 \(Q\subset\mathbb R^d\) 是非空闭立方体，映射 \(F:Q\to Q\) 满足：存在 \(0\le q<1\)，使任意 \(x,y\in Q\) 都有

则 \(F\) 在 \(Q\) 中有唯一不动点。

证明。 任取 \(x_0\in Q\)，递推定义 \(x_{n+1}=F(x_n)\)。由压缩估计归纳得 \(\|x_{n+1}-x_n\|\le q^n\|x_1-x_0\|\)。因此当 \(m>n\) 时，三角不等式和几何级数给出

右端随 \(n\to\infty\) 趋于零，故 \((x_n)\) 是 Cauchy 序列。第 28 章的 Euclid 空间完备性 给出 \(x_n\to x_\ast\in\mathbb R^d\)；闭立方体 \(Q\) 是闭集且 所有 \(x_n\in Q\)，所以 \(x_\ast\in Q\)。压缩估计还说明 \(F\) 连续，于是

若 \(y_\ast\) 也是不动点，则

故 \(x_\ast=y_\ast\)。\(\square\)

引理：小盒像体积的一致估计¶

设 \(K\Subset G\) 为紧集。对中心 \(a\in K\)、边长 \(h\) 的闭立方体 \(Q=a+[-h/2,h/2]^d\subset K\)，当 \(h\to0\) 时一致地有

证明：紧内部的一致线性化。 记 \(A=DT(a)\)、 \(R_a(z)=T(z)-T(a)-A(z-a)\)。因 \(DT\) 在 \(K\) 的一个紧邻域上一致连续，存在 \(\omega(t)\downarrow0\) 使同一邻域内

又因 \(|\det DT|\) 在 \(K\) 上有正下界，\(\|A\|\) 与 \(\|A^{-1}\|\) 分别有统一 上界 \(L\) 与 \(M\)。这些常数都不依赖 \(a\) 或小盒。

线性像的体积。 线性代数中的平行多面体公式给出

这一步只处理线性主部，尚不能直接替代 \(T(Q)\)。

余项的外包与内包。 令 \(\rho_h=C\omega(Ch)h\)。由余项估计，

反向内包也必须证明。若 \(y\in A(Q-a)\) 且 \(A^{-1}y\) 到立方体边界的距离大于 \(2M\rho_h\)，考虑

充分小的 \(h\) 使 \(M\omega(Ch)<1/2\)；中心点 \(a+A^{-1}y\) 的边界余量保证 \(\Phi_y\) 把 \(Q\) 送入自身，且其 Lipschitz 常数至多 \(M\omega(Ch)<1/2\)。 将上一引理用于 \(\Phi_y\)，得到唯一不动点 \(z\in Q\)，即 \(T(z)=T(a)+y\)。故线性 平行多面体去掉厚度 \(O(\rho_h)\) 的边界层后包含于 \(T(Q)-T(a)\)，而 \(T(Q)-T(a)\) 又包含在线性像的 \(O(\rho_h)\) 外层中。

\(\|A\|,\|A^{-1}\|\) 一致有界，所以这两个平行多面体边界层的体积均不超过 \(C\rho_h h^{d-1}=C\omega(Ch)h^d\)。因此

且估计对 \(a\in K\) 一致。\(\square\)

换元定理的 Riemann 和证明¶

目标边界确实来自参数边界。 先补上后面零延拓所需的逻辑。若 \(u\in G\)，则 \(\det DT(u)\ne0\)，反函数定理给出 \(u\) 的邻域，其像是 \(T(u)\) 的一个开邻域； 这个像包含于 \(D=T(G)\)，故 \(T(u)\in\operatorname{int}D\)。另一方面，若 \(y\in\partial D\)，取 \(y_n=T(u_n)\to y\)。由 \(\overline G\) 紧致，可取子列 \(u_{n_k}\to\bar u\in\overline G\)，连续性给出 \(y=T(\bar u)\)。若 \(\bar u\in G\)，上一段会使 \(y\) 成为 \(D\) 的内点，矛盾；所以 \(\bar u\in\partial G\)，从而

把 \(T\) 与 \(\partial G\) 的有限个分片 \(C^1\) 参数化复合，仍得到有限个分片 \(C^1\) 参数片。第 33.4 的薄盒论证因而适用于 \(T(\partial G)\)，也控制 目标边界的零延拓；边界上的 Jacobian 退化不影响这个结论。

规则立方网格选出固定内核。 给定 \(\eta>0\)，先像第 33.4 那样取覆盖 \(\partial G\) 的有限开盒并 \(U\)，使 \(\operatorname{vol}(U)<\eta\)，且边界到 \(\mathbb R^d\setminus U\) 有正距离。取充分细的边长 \(s\) 的规则立方网格。 网格还可细到使每个与边界相交的格都落在 \(T\) 的定义邻域中。凡粗网格闭立方体 \(Q_0\) 满足 \(Q_0\cap\partial G\ne\varnothing\)，它都整体包含于 \(U\)。记这些边界 立方体之并为 \(W\)；其内部不交，故 \(\operatorname{vol}(W)<\eta\)。保留其余完全落在 \(G\) 内的粗立方体，记其有限族为 \(\mathcal K_0\)，并定义闭内域

任意 \(G\) 中点所在的粗格若未保留，该格必与 \(\partial G\) 相交。因此所有未保留格 对 \(G\) 的遗漏都包含在 \(W\) 中，特别地

（这里实际可取 \(C=1\)）。这一步没有把覆盖盒端点插入网格，保留下来的几何对象始终 是边长 \(s\) 的立方体。

固定内核上的像块。 固定这个 \(K\)，把每个 \(Q_0\in\mathcal K_0\) 等分成边长 \(h=s/n\) 的闭立方体，所得有限族记为 \(\mathcal K_h\)。于是对每个 \(n\) 都有精确穷尽

不同 \(Q\) 的内部不交；由 \(T\) 在 \(G\) 内一一且局部为微分同胚，不同 \(T(Q)\) 的内部也不交。每个 \(T(Q)\) 的边界是有限个 \(C^1\) 参数片的像，故可积； 有限块可由区域可加性求和。

被积函数与 Jacobian 的振幅控制。 写 \(J=|\det DT|\)。对每个细立方体明确取

于是 \(Q=a_Q+[-h/2,h/2]^d\)，与上一引理的立方体完全相同，且一致地

由 \(DT\) 有界，\(\operatorname{diam}T(Q)\le Ch\)。上一引理与连续性进一步给出

再用一致小盒体积误差，逐块之差除以 \(\operatorname{vol}(Q)\) 后由一个与 \(Q\) 无关且趋于零的量控制。细立方体精确穷尽固定 \(K\)，其总体积就是 \(\operatorname{vol}(K)\)，所以求和并令 \(h\to0\) 得到

从固定内核回到全域。 \(T\) 在 \(\overline G\) 的紧邻域上有某个 Lipschitz 常数 \(L\)。每个边界粗立方体 \(Q_0\) 的像都装在边长 \(L\sqrt d\,s\) 的轴对齐盒中；把 这些盒合并，便得到 \(T(W)\) 的有限覆盖，其总体积不超过 \(C\operatorname{vol}(W)<C\eta\)。由于

且 \(f\) 与 \((f\circ T)J\) 都有界，遗漏的目标积分和参数积分的绝对值都小于 \(C\eta\)。注意这里粗网格中所有未保留格都已通过 \(W\) 计入误差，没有残余格。

因此顺序是：对每个固定 \(\eta\)，先固定上述 \(K\)，令 \(h\to0\) 得到 \(K\) 上的 等式；再令 \(\eta\to0\)，两侧边界薄层同时消失。结合已经证明的 \(\partial D\subset T(\partial G)\) 及目标边界薄盒控制，区域零延拓均可积，最终得到 全域换元公式。\(\square\)

以上证明没有借用 Jordan 测度或 Lebesgue 理论；第 33.4 的核心薄盒引理承担全部边界 控制。边界上的有限退化片只在最后的薄层中处理，不能当作普通内部点。

例题与迁移¶

例 1：线性换元¶

\(T(u,v)=(2u+v,u+2v)\) 的行列式为 \(3\)。若 \(G\) 选得使 \(T\) 一一对应， 则 \(D=T(G)\) 上积分需乘 \(3\)。

例 2：重复覆盖¶

\((r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)\) 若取 \(0\le\theta\le4\pi\)，除边界外几乎每点覆盖两次；即使局部 Jacobian 非零， 直接套公式也会重复计数。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

一点 Jacobian 非零能保证全局一一对应吗？

即时检验 2¶

为何积分乘绝对值？

常见误区与后续¶

• 同时写清参数域 \(G\) 与像域 \(D\)。
• 检查坐标范围是否重复覆盖或遗漏。
• 极坐标原点 Jacobian 为零，需要作为边界退化点单独理解。

习题与答案¶

习题 1¶

换元前必须列出的四项检查是什么？

习题 2¶

若变换二对一，公式会发生什么风险？

习题 3¶

恒等变换给出什么公式？

习题 4¶

反射换元的因子是多少？

习题 5¶

为何连续可微强于只处处可微？

习题 6¶

Jacobian 为零的曲线能否直接当普通内部点？

习题 7¶

被积函数为什么要复合 \(T\)？

习题 8¶

边界分片在证明中做什么？

习题 9¶

线性变换为什么是定理的局部模型？

习题 10¶

换元完成后怎样核验？