Gauss 公式为什么先在长方体上成立？¶
先备知识¶
掌握三重累次积分、曲面通量与一元微积分基本定理。
学习目标¶
能逐坐标匹配体积分与六个面的通量，并逐面检查外法向。
牵引问题¶
局部源汇密度在整个盒子内累积后，为何恰等于边界净流出？
探索与猜想¶
对 \(P_x,Q_y,R_z\) 分别沿 \(x,y,z\) 积分，FTC 给出的端点差正好对应相对两面。
概念与理论¶
长方体上的 Gauss 公式¶
设 \(B=[a,b]\times[c,d]\times[e,f]\)，\(F=(P,Q,R)\in C^1(U)\)，其中 \(U\) 是 \(B\) 的邻域，边界取正外法向 \(n\)。则
证明障碍¶
左侧是六个有向曲面积分，右侧是三个偏导的体积分；每一对面的外法向和负号都必须对应。
证明路线¶
逐坐标使用一元微积分基本定理（FTC），先算 \(P_x\)，再算 \(Q_y,R_z\)。
逐步证明¶
对 \(x\) 坐标，累次积分与 FTC 给出
\(x=a\) 面外法向为 \((-1,0,0)\)，\(x=b\) 面为 \((1,0,0)\)，故右侧恰是这两面的通量和。 同理，\(y=c\)、\(y=d\) 面的外法向分别是 \((0,-1,0)\)、\((0,1,0)\)，所以
\(z=e\)、\(z=f\) 面的外法向分别是 \((0,0,-1)\)、\((0,0,1)\)，并且
三式相加覆盖全部六面，得到结论。
假设位置¶
\(C^1\) 邻域条件保证偏导连续、累次积分与 FTC 合法，并能在边界取值。
边界¶
本证明只覆盖长方体；曲边区域不能仅凭“切成小盒”略去极限误差与边界逼近。
取向检查¶
低坐标面取负坐标方向，高坐标面取正坐标方向。若把整个闭曲面法向反转，边界通量变号而体积分不变，便不再是本定理。
迁移¶
下一页只对可由有限个本章允许正则块精确拼成的区域推广。
例题与迁移¶
例 1：单位立方体¶
\(F=(x,y,z)\) 的散度为 \(3\)，体积分为 \(3\)。三个高坐标面各贡献 \(1\)，低坐标面贡献 \(0\)，总通量为 \(3\)。
例 2：非零低面¶
在 \(B=[1,2]\times[0,1]^2\) 上取 \(F=(x^2,0,0)\)。两面通量为 \(4-1=3\)，体积分 \(\int_1^2 2x\,dx=3\)。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
\(x=a\) 面为何贡献 \(-P(a,y,z)\)？
答案
该面的正外法向是 \((-1,0,0)\)，所以 \(F\cdot n=-P\)。
即时检验 2¶
证明中 FTC 用了几次坐标方向？
答案
三次，分别沿 \(x,y,z\) 对相应偏导积分。
常见误区与后续¶
- “闭曲面”不自动指定任意法向；Gauss 公式固定正外法向。
- 长方体证明不等于任意光滑区域的证明。
习题与答案¶
习题 1¶
写出 \(x=b\) 面通量。
答案
\(\int_c^d\int_e^fP(b,y,z)\,dz\,dy\)。
习题 2¶
写出 \(y=c\) 面通量。
答案
\(-\int_a^b\int_e^fQ(x,c,z)\,dz\,dx\)。
习题 3¶
写出 \(z=f\) 面外法向。
答案
\((0,0,1)\)。
习题 4¶
常向量场在盒子上的净通量是多少？
答案
\(0\)。
习题 5¶
\(F=(x,0,0)\) 在单位立方体上的通量是多少？
答案
\(1\)。
习题 6¶
为何要求场定义在盒子的邻域？
答案
保证边界取值与连续偏导条件统一成立。
习题 7¶
若法向全部反转，左侧怎样？
答案
变为原通量的相反数。
习题 8¶
\(F=(x^2,y^2,z^2)\) 在单位立方体上的净通量是多少？
答案
\(3\)。
习题 9¶
哪个定理把 \(P_x\) 积分变为端点差？
答案
一元微积分基本定理。
习题 10¶
可否据此直接断言球上的公式？
答案
不可；还缺少覆盖曲边区域的严格推广论证。