连续函数为何一定有界并取得最值？¶
先备知识¶
上一单元证明了闭区间的序列紧致性。你还需要区分“函数值集合有上界”“存在上确界” 和“上确界属于函数值集合”。连续性会把定义域中的收敛子列变成函数值的收敛子列。
学习目标¶
- 分别证明连续函数在闭区间上有界和取得最值；
- 写出反设无界时的选点过程；
- 从上、下确界构造逼近点列；
- 说明每项假设在证明中的位置。
牵引问题¶
局部连续只约束每一点附近，为什么能够阻止函数在整个闭区间上无限增大？即使已有 有限上确界，又为什么一定存在某个输入真正达到它？
探索与猜想¶
若函数无界，可选择越来越高的函数值；对应输入仍被困在闭区间中，必有收敛子列。 连续性却迫使这条函数值子列趋于一个有限点值。若函数有界但上确界没有取到，可选择 函数值越来越逼近上确界，再使用同一套“抽子列—传连续性”机制。
概念与理论¶
定理：连续函数在闭区间上有界¶
若 \(f:[a,b]\to\mathbb R\) 连续，则 \(f([a,b])\) 有界。
证明。 反设 \(f([a,b])\) 无界。则它至少上方或下方无界，等价地 \(|f|\) 无界。对每个 \(n\in\mathbb N\)，可选 \(x_n\in[a,b]\) 使 [ |f(x_n)|>n. \tag{11.1} ] 由闭区间序列紧致性，存在子列 \(x_{n_k}\to c\in[a,b]\)。连续性给出 [ f(x_{n_k})\to f(c)\in\mathbb R. ] 收敛数列有界，所以 \((f(x_{n_k}))\) 应有界；但由 (11.1)， [ |f(x_{n_k})|>n_k\ge k, ] 它无界，矛盾。因此 \(f([a,b])\) 有界。\(\square\)
闭区间的有界性负责产生收敛子列，闭性负责让极限点 \(c\) 仍在函数定义域内， 连续性负责把输入收敛传给输出。
定理：最值定理¶
若 \(f:[a,b]\to\mathbb R\) 连续，则存在 \(p,q\in[a,b]\)，使对每个 \(x\in[a,b]\)， [ f(p)\le f(x)\le f(q). ]
证明。 由上一条定理，函数值集合非空且有界，故 [ M=\sup f([a,b]),\qquad m=\inf f([a,b]) ] 都是有限实数。
先证明最大值能取到。对每个 \(n\)，由上确界定义，存在 \(x_n\in[a,b]\) 使 [ M-\frac1n<f(x_n)\le M. \tag{11.2} ] 否则 \(M-1/n\) 会成为更小的上界。由序列紧致性，存在 \(x_{n_k}\to q\in[a,b]\)。连续性给出 [ f(x_{n_k})\to f(q). ] 另一方面，由 (11.2) 和 \(1/n_k\to0\)，夹逼定理给出 \(f(x_{n_k})\to M\)。极限唯一，所以 \(f(q)=M\)。
同理，对每个 \(n\) 选择 \(y_n\in[a,b]\) 使 [ m\le f(y_n)<m+\frac1n. ] 抽取 \(y_{n_k}\to p\in[a,b]\)，连续性与夹逼给出 \(f(p)=m\)。因此 [ f(p)=m\le f(x)\le M=f(q) ] 对所有 \(x\in[a,b]\) 成立。\(\square\)
证明先建立有界性，才能把上、下确界当作有限实数；随后“逼近界”与“取到界”是两个 不同步骤。
推论：连续像保留序列紧致性¶
若 \(K\subseteq\mathbb R\) 序列紧致，\(f:K\to\mathbb R\) 连续，则 \(f(K)\) 序列紧致。
证明。 任取 \(y_n\in f(K)\)，选择 \(x_n\in K\) 使 \(y_n=f(x_n)\)。 从 \(x_n\) 抽出 \(x_{n_k}\to x\in K\)。连续性给出 \(y_{n_k}\to f(x)\in f(K)\)。\(\square\)
在实数中，序列紧致集有界且闭，因此这条推论同时概括了函数值有界与最值能取到。
例题与迁移¶
例题 1：定理保证存在，代数负责定位¶
求 \(f(x)=x(1-x)\) 在 \([0,1]\) 上的最值。
解。 多项式连续，最值定理先保证最大、最小值都能取到。完成平方： [ f(x)=\frac14-\left(x-\frac12\right)^2. ] 所以最大值为 \(1/4\)，在 \(x=1/2\) 取得；最小值为 \(0\)，在两个端点取得。
例题 2：缺失闭端点导致不取界¶
函数 \(f(x)=x\) 在 \((0,1)\) 上连续且有界，但不取最大值和最小值。
说明。 函数值集合仍是 \((0,1)\)，上确界 \(1\) 和下确界 \(0\) 都不属于 函数值集合。定义域不闭使逼近点列的极限落在定义域外，证明链在“极限仍在定义域” 处断开。
即时检验与回望¶
即时检验 1：为什么无界时能选 \(|f(x_n)|>n\)？¶
答案
\(|f|\) 无界的含义是：对每个正数 \(A\)，都存在定义域点使 \(|f(x)|>A\)。依次取 \(A=n\)，即可为每个 \(n\) 选择相应的 \(x_n\)。
即时检验 2：上确界为什么不能直接写成最大值？¶
答案
上确界只保证它是最小上界，并保证函数值可以任意逼近它；它未必属于函数值集合。 证明还需用逼近点列、序列紧致性与连续性找到 \(q\) 并推出 \(f(q)=M\)。
习题与答案¶
习题 1：绝对值函数¶
求 \(f(x)=|x-1|\) 在 \([-1,3]\) 上的最大值与最小值。
答案
最小值为 \(0\)，在 \(x=1\) 取得。区间端点到 \(1\) 的距离都是 \(2\)，且区间 内距离不超过 \(2\)，所以最大值为 \(2\)，在 \(x=-1,3\) 取得。
习题 2：无界区间¶
说明 \(f(x)=x\) 在 \(\mathbb R\) 连续却没有最大值或最小值。
答案
定义域无界，数列 \(x_n=n\) 没有实数收敛子列，并且 \(f(n)=n\to+\infty\)； 类似地 \(f(-n)=-n\to-\infty\)。因此函数值集合无上、下界。
习题 3：去掉连续性¶
在 \([0,1]\) 上定义 \(f(x)=x\)（\(x<1\)），\(f(1)=0\)。说明它不取最大值。
答案
函数值集合是 \([0,1)\)，上确界为 \(1\)，但没有点取到 \(1\)。函数在 \(1\) 不连续：左极限为 \(1\)，点值为 \(0\)。这说明闭区间条件不能代替连续性。
习题 4：最小值的逼近点列¶
设 \(m=\inf f([a,b])\)。解释为何对每个 \(n\) 存在 \(y_n\) 使 \(m\le f(y_n)<m+1/n\)。
答案
\(m\) 是下界，所以 \(m\le f(y)\) 对所有 \(y\) 成立。若不存在函数值小于 \(m+1/n\)，则 \(m+1/n\) 也是下界且严格大于 \(m\)，与 \(m\) 是最大下界 矛盾。因此可选择所需的 \(y_n\)。
习题 5：唯一性不能由定理推出¶
最值定理是否保证最大值点和最小值点唯一？举例说明。
答案
不保证。常数函数 \(f(x)=0\) 在任意闭区间连续，每个点同时是最大值点和最小值 点。定理只保证至少存在一个取到最大值和最小值的点。
常见误区与后续¶
- 有界与取到界是两个结论，证明顺序不能颠倒。
- 从上确界选点时，点可以随 \(n\) 改变。
- 收敛子列的极限必须留在定义域，才能使用该点处连续性。
- 最值定理保证存在，不保证最值点唯一，也不自动给出定位方法。
下一单元把同一序列紧致机制用于控制连续性中的半径，使它不再依赖观察点。