怎样选择并核验 Green、Gauss 与 Stokes 公式？¶

先备知识¶

掌握 Green、Gauss、Stokes 三条公式的经典证明、积分对象与方向约定。

学习目标¶

能从内部微分算子、定向对象、诱导边界、正则性与奇点五项选择公式并核验结果。

牵引问题¶

三个“内部积分等于边界积分”的公式相似，怎样避免凭关键词误套？

探索与猜想¶

先辨认待转换的是闭曲线、闭曲面还是曲面边界，再检查算子、方向与合法性。

概念与理论¶

三大公式对照¶

三者都需要相应的正则性、分片结构与方向。奇点若落在所需邻域内，先挖孔并增加边界， 不能把不合法的积分用形式相似遮住。

公式选择流程¶

1. 写出已知与目标积分的维数和类型。
2. 匹配内部微分算子：平面标量旋度或散度、三维散度、三维旋度。
3. 标定向对象，并从它推出诱导边界；Green 逐分支、Gauss 用外法向、Stokes 用右手规则。
4. 检查区域或曲面的有限分片、参数正则性、场的连续偏导和奇点。
5. 先解析变换，再用独立直接积分或数值采样核验符号与算术。

取向检查¶

任何数值比较前先写方向。若反转曲线或法向，相关有向积分应变号；不变往往暴露方向 漏乘，而不是“更稳定”。

数值核验：教材唯一调用点¶

下面从 src.mathbook_examples.vector_analysis 导入两个固定复合中点接口，并各调用一次：

import math
from src.mathbook_examples.vector_analysis import composite_midpoint_line_integral, composite_midpoint_flux_integral

line_check = composite_midpoint_line_integral(
    lambda p: (-p[1] / 2, p[0] / 2, 0),
    curve=lambda t: (math.cos(t), math.sin(t), 0),
    curve_derivative=lambda t: (-math.sin(t), math.cos(t), 0),
    bounds=(0, 2 * math.pi), n=64,
)
flux_check = composite_midpoint_flux_integral(
    lambda p: (0, 0, 1),
    surface=lambda u, v: (u, v, 0),
    surface_u=lambda u, v: (1, 0, 0),
    surface_v=lambda u, v: (0, 1, 0),
    u_bounds=(0, 1), v_bounds=(0, 1), nu=16, nv=16,
)

第一次是线积分核验，解析值为 \(\pi\)；第二次是通量核验，解析值为 \(1\)。固定采样 只能检查方向、法向量、Jacobian 因子与算术。数值结果不能证明 Green 公式；数值结果 不能证明 Gauss 公式；数值结果不能证明 Stokes 公式。采样也不能证明正则性、参数化无关 或给出误差证书；接口返回值不是经过认证的上下界。

例题与迁移¶

例 1：闭曲面通量¶

求 \(F=(x,y,z)\) 穿出单位球的通量。对象是闭曲面通量，其边界为三维区域，故选 Gauss： \(\operatorname{div}F=3\)，通量为 \(3\cdot4\pi/3=4\pi\)。球含原点但场在原点正则。

例 2：同边界跨曲面¶

求 \(F=(-y/2,x/2,0)\) 沿上向单位圆盘诱导边界的环流。选 Stokes，旋度为 \((0,0,1)\)，上向通量为 \(\pi\)。若改下向曲面，边界也须反向，答案为 \(-\pi\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

闭曲面通量优先匹配哪条公式？

即时检验 2¶

曲面边界环流优先匹配哪条公式？

即时检验 3¶

数值值与解析值接近能证明参数化无关吗？

常见误区与后续¶

• Green 是平面公式；Gauss 的边界对象是闭曲面；Stokes 的边界对象是曲线。
• 三大公式的统一是选择与核验框架，不替代前三章各自的经典证明。

习题与答案¶

习题 1¶

平面闭路环流可直接选哪条公式？

习题 2¶

三维闭曲面通量对应哪个内部算子？

习题 3¶

曲面边界环流对应哪个内部算子？

习题 4¶

Gauss 的方向合同是什么？

习题 5¶

Stokes 的方向合同是什么？

习题 6¶

Green 的多连通边界怎样定向？

习题 7¶

场在区域内有奇点时怎么办？

习题 8¶

算法会检查曲面处处正则吗？

习题 9¶

固定网格值能否给误差上界？

习题 10¶

为什么解析结果与数值结果应独立获得？

习题 11¶

闭曲面可否直接作为 Stokes 曲面的边界？

习题 12¶

统一表能否替代定理证明？

习题 13：同一场上的三公式选择¶

令 \(F=(-y/2,x/2,z)\)，\(\Omega=\{x^2+y^2\le1,\ 0\le z\le1\}\)， \(S=\partial\Omega\) 取外法向；顶面圆盘 \(D\) 取上法向，其边界 \(C\) 取诱导方向。

阶段一：定理选择与条件。 分别为 \(F\) 穿出 \(S\) 的通量、\(F\) 沿 \(C\) 的环流 选择公式，并说明为什么同一个环流可以由两条经典公式计算。

阶段二：方向与独立核验。 求两个积分，并说明若把 \(C\) 反向但保持 \(D\) 上向， 哪一步不再满足定理合同；再给出一种不循环依赖于所选定理的核验路线。

习题 14：奇点、取向与数值证据诊断¶

令 \(G(x)=x/\lVert x\rVert^3\)，考察单位球面及穿孔区域 \(\Omega_\varepsilon=\{\varepsilon\le\lVert x\rVert\le1\}\)。某同学声称 “\(\operatorname{div}G=0\)，所以单位球外通量为零；固定网格也算得接近零，因此结论可靠”。

阶段一：奇点合法性。 指出直接在单位球内使用 Gauss 的问题，并在 \(\Omega_\varepsilon\) 上写出合法的边界分解。

阶段二：取向诊断。 说明内球在穿孔区域中的法向，并据此求外球通量。

阶段三：数值证据边界。 解释“网格值接近零”为何不能修复上述证明，并给出合理核验顺序。