函数为何不只是“公式”？¶

先备知识¶

需要会使用集合、元素、子集与量词，也会做多项式的基本运算，并能从平面直角坐标系读取图像。高等代数所需的是多项式的基本运算；解析几何所需的是平面直角坐标系与图像读取；Python 没有先备要求。这里的重点不是画出漂亮的曲线，而是把“输入什么、输出落在哪里”说完整。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

区分函数、公式、定义域、陪域和值域；
写出复合函数并确定它真正的定义域；
用定义判定单射、满射与可逆性。

牵引问题¶

同一条公式为什么有时不能定义函数？

公式 \(x\mapsto1/x\) 看起来只有一种写法，但它在 \(\mathbb R\) 上不能给 \(0\) 指定输出，因此不是从 \(\mathbb R\) 到 \(\mathbb R\) 的函数；在 \(\mathbb R\setminus\{0\}\) 上却能定义函数。更进一步，若把它写成

\[ f:\mathbb R\setminus\{0\}\longrightarrow\mathbb R, \qquad f(x)=\frac1x, \]

它仍不是满射，因为 \(0\) 没有原像；若陪域改成 \(\mathbb R\setminus\{0\}\)，它就成为双射。函数因此不是孤立的公式，而是一条明确的映射：它必须说明允许的输入和承诺的输出范围。

探索与猜想¶

比较下面三个写法：

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\quad f(x)=x^2; \qquad g:[0,\infty)\to\mathbb R,\quad g(x)=x^2; \qquad h:\mathbb R\to[0,\infty),\quad h(x)=x^2. \]

它们用的是同一公式，但不是同一个函数。\(f\) 不是单射，因为 \(f(1)=f(-1)\)；\(g\) 在其定义域上是单射；\(h\) 还是满射，因为每个非负实数 \(y\) 都有原像 \(\sqrt y\)。这说明“公式相同”不足以决定函数的性质，定义域和陪域同样是定义的一部分。

图像也只能记录某个坐标系中已经画出的点，不能替代函数定义。例如图像 \(y=x^2\) 本身没有告诉我们 \(x\) 是全体实数，还是只允许 \(x\ge0\)；这两种选择给出不同的函数，且单射性不同。

概念与理论¶

映射、定义域、陪域和值域¶

函数（或映射）\(f:A\to B\) 是一条规则：对定义域 \(A\) 中的每个 \(x\)，恰好指定一个 \(B\) 中的元素 \(f(x)\)。\(B\) 称为陪域。实际能够取得的输出组成

\[ f(A)=\{f(x):x\in A\}\subseteq B, \]

称为 \(f\) 的值域或像集。定义域、陪域和对应规则三者缺一不可。公式只是描述规则的一种简洁方式；它还必须在全部定义域上有意义，并且输出属于陪域。

复合函数与可用输入¶

若 \(f:A\to B\)、\(g:B\to C\)，则复合函数 \(g\circ f:A\to C\) 定义为

\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]

在以公式给出的情形，不能只把符号机械代入；应先把两个映射的定义域和值域写成能复合的形式，再定义复合。例如若公式只在一部分输入上有意义，就先把该部分选为函数的定义域；不能把两个未满足箭头条件的映射直接称为复合函数。

单射、满射与反函数¶

函数 \(f:A\to B\) 是单射，若

\[ (\forall x_1,x_2\in A)\bigl(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\bigr). \]

它是满射，若对每个 \(y\in B\) 都存在 \(x\in A\) 使 \(f(x)=y\)。既单又满的函数称为双射。只有双射 \(f:A\to B\) 才能定义反函数 \(f^{-1}:B\to A\)：每个 \(y\in B\) 恰有一个原像 \(x\)，令 \(f^{-1}(y)=x\)。这里 \(f^{-1}\) 不是倒数 \(1/f\)。

例题与迁移¶

例：复合的单射性¶

若 \(f:A\to B\) 与 \(g:B\to C\) 都是单射，证明 \(g\circ f:A\to C\) 是单射。

证明。 任取 \(x_1,x_2\in A\)，并设

\[ (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2). \]

于是 \(g(f(x_1))=g(f(x_2))\)。由 \(g\) 是单射，得到 \(f(x_1)=f(x_2)\)；再由 \(f\) 是单射，得到 \(x_1=x_2\)。这正是 \(g\circ f\) 为单射的定义。\(\square\)

迁移：同一公式，三个不同问题¶

公式 \(x\mapsto1/x\) 在不同的定义域或陪域下代表不同映射：

\[ \mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R\setminus\{0\} \]

时它是双射，且自身就是反函数；若改为 \(\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R\)，它仍是单射却不满射；若写为 \(\mathbb R\to\mathbb R\)，则根本不是函数，因为 \(x=0\) 没有输出。处理函数问题的第一步应当是读清箭头两端，而不是马上操作公式。

即时检验与回望¶

为什么 \(f:\mathbb R\to\mathbb R\)，\(f(x)=\sqrt{x}\) 不是函数？

答案

定义域包含负数，但 \(\sqrt{x}\) 对负实数没有实数值。若把定义域改为 \([0,\infty)\)，它才是到 \(\mathbb R\) 的函数。

设 \(f:\mathbb R\to[0,\infty)\)，\(f(x)=x^2\)，\(g:[0,\infty)\to\mathbb R\)，\(g(t)=\sqrt t\)。写出 \(g\circ f\) 与 \(f\circ g\) 各自的定义域。

答案

\(f\) 的陪域正是 \(g\) 的定义域，因此 \(g\circ f:\mathbb R\to\mathbb R\)，其定义域为 \(\mathbb R\)。另一方面，\(g\) 的定义域为 \([0,\infty)\)，所以 \(f\circ g\) 的定义域为 \([0,\infty)\)，不能写成以 \(\mathbb R\) 为定义域的复合函数。

\(x\mapsto x^3\) 作为 \(\mathbb R\to\mathbb R\) 是双射吗？

答案

是。它严格递增，故为单射；对任意 \(y\in\mathbb R\)，\(x=\sqrt[3]{y}\) 满足 \(x^3=y\)，故为满射。其反函数是 \(y\mapsto\sqrt[3]{y}\)。

回看牵引问题：公式只有在给定定义域与陪域后才构成函数；它们还会改变单射、满射和是否存在反函数这些性质。

习题与答案¶

ex-u-01-01-04-01¶

判断 \(p:\mathbb R\to\mathbb R\)，\(p(x)=1/(x-2)\) 是否为函数；若不是，给出最小的定义域修正。

答案

不是，因为 \(x=2\) 时公式没有实数值。把定义域改为 \(\mathbb R\setminus\{2\}\) 后，\(p:\mathbb R\setminus\{2\}\to\mathbb R\) 是函数。

ex-u-01-01-04-02¶

设 \(f:(1,\infty)\to(0,\infty)\)，\(f(x)=x-1\)，\(g:(0,\infty)\to\mathbb R\)，\(g(t)=\ln t\)。写出 \(g\circ f\) 的公式和定义域。

答案

因为 \(f\) 的陪域是 \(g\) 的定义域，复合函数类型为 \(g\circ f:(1,\infty)\to\mathbb R\)，且 \((g\circ f)(x)=\ln(x-1)\)。它的定义域已经由 \(f\) 指定为 \((1,\infty)\)。

ex-u-01-01-04-03¶

证明 \(q:[0,\infty)\to[0,\infty)\)，\(q(x)=x^2\) 是双射，并写出反函数。

答案

完整解答。 若 \(q(x_1)=q(x_2)\)，即 \(x_1^2=x_2^2\)，且 \(x_1,x_2\ge0\)，则 \(x_1=x_2\)，故 \(q\) 单射。任取 \(y\in[0,\infty)\)，取 \(x=\sqrt y\in[0,\infty)\)，就有 \(q(x)=y\)，故 \(q\) 满射。因此 \(q\) 是双射，其反函数为 \(q^{-1}(y)=\sqrt y\)。

ex-u-01-01-04-04¶

给出反例说明：仅给出图像 \(y=x^2\)，不能替代函数定义中的定义域。

答案

取 \(f:\mathbb R\to\mathbb R\)，\(f(x)=x^2\) 与 \(g:[0,\infty)\to\mathbb R\)，\(g(x)=x^2\)。它们在 \(x\ge0\) 的图像部分相同，都可以被口头称作“\(y=x^2\)”，但 \(f\) 不是单射（\(f(1)=f(-1)\)），\(g\) 是单射。因此图像公式不能说明定义域，也不能代替完整函数定义。