无约束极值为什么满足一阶必要条件？¶

先备知识¶

掌握 Fréchet 可微、方向导数、一元 Fermat 定理与定义域内部。

学习目标¶

1. 证明内点极值的一阶必要条件；2. 正确生成驻点候选；3. 不把边界点误删。

牵引问题¶

梯度为零为何只是候选条件？在边界上，梯度不为零的点为何仍可能最优？

探索与猜想¶

若 \(a\) 是开集内的局部极值，对任意方向 \(v\)，一元函数 \(g(t)=f(a+tv)\) 在 \(t=0\) 有局部极值，因此 \(g'(0)=0\)。

概念与理论¶

Fermat 必要条件¶

设 \(U\subset\mathbb R^n\) 开，\(f:U\to\mathbb R\) 在内点 \(a\) 可微。若 \(a\) 为局部极大或极小点，则

证明对每个 \(v\) 使用上述一元限制，得 \(Df(a)v=0\)。线性泛函对所有方向为零， 故它自身为零。这是一阶必要条件，不是充分条件。

驻点与边界¶

\(\nabla f=0\) 的点称为驻点。驻点可能是极小、极大、鞍点或更高阶退化点。 若点位于定义域边界，并非所有正负方向都可行，上述证明失效；边界极值可以有 非零梯度。因此全局求解流程是：内部驻点、光滑边界、角点及不可微点分别检查。

这落实“再检查一阶必要条件”：它必须位于存在性与定义域审查之后。

例题与迁移¶

例 1：鞍点¶

\(f(x,y)=x^2-y^2\) 在原点梯度为零，但沿 \(x\) 轴为正、沿 \(y\) 轴为负，故不是极值。

例 2：边界最优¶

\(f(x,y)=x\) 在闭单位圆盘的最小点 \((-1,0)\) 梯度为 \((1,0)\ne0\)。 它是可行域边界点，不违反 Fermat 定理。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

梯度为零能否证明局部最小？

即时检验 2¶

为什么边界点不能任取正负小方向？

常见误区与后续¶

• 先确认点是定义域内点。
• 不可微点也可能是极值候选。
• 驻点分类需要二阶或更高阶信息以及直接比较。

习题与答案¶

习题 1¶

求 \(x^2+y^2\) 的驻点。

习题 2¶

证明 \(x^2-y^2\) 的原点不是极值。

习题 3¶

\(x^3\) 在原点满足一阶条件吗？是极值吗？

习题 4¶

为什么 \(Df(a)v=0\) 对所有 \(v\) 推出 \(Df(a)=0\)？

习题 5¶

\(|x|+y^2\) 的原点为何不能直接用梯度条件？

习题 6¶

闭矩形上的候选类型有哪些？

习题 7¶

内点局部极大与极小的一阶条件有何区别？

习题 8¶

方向导数全为零是否总能替代可微性？

习题 9¶

为什么求到驻点后还需比较函数值？