偏导数和方向导数能否保证函数可微？¶
先备知识¶
掌握一元导数和多元极限的序列、路径判据。
学习目标¶
- 定义偏导数与方向导数；2. 理解它们只沿直线取样；3. 用反例区分连续与可微。
牵引问题¶
沿每个方向都有瞬时变化率，是否已经得到一个对所有小扰动同时有效的线性模型？
探索与猜想¶
对单位向量 \(v\)，方向导数
只观察一条直线。偏导数是 \(v=e_i\) 的特殊情形。
概念与理论¶
偏导数 \(\partial_i f(a)\) 固定其他坐标，仅改变第 \(i\) 个坐标。方向导数允许任意 固定方向，但“每个方向分别存在”没有给出对方向统一的余项控制。
例如
沿 \(v=(a,b)\) 有 \(D_vf(0)=a^3/(a^2+b^2)\)，所有方向导数存在，但该表达式不是 \(v\) 的线性函数，所以不能来自统一的微分。
更强地，
两偏导数都存在且为零，但沿 \(y=x^2\) 函数值为 \(1/2\)，函数在原点不连续。 因此偏导数存在不能推出连续，当然也不能推出可微。
例题与迁移¶
例 1：线性函数¶
若 \(f(x)=c^\mathsf Tx\)，则 \(D_vf(a)=c^\mathsf Tv\)，方向依赖确为线性。
例 2：绝对值脊线¶
\(f(x,y)=|x|\) 在原点沿 \(e_1\) 的双侧方向导数不存在，已足以否定可微。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
偏导数是哪个方向的方向导数？
答案
第 \(i\) 个偏导数是标准基向量 \(e_i\) 方向的方向导数。
即时检验 2¶
所有方向导数存在为何仍可能不连续？
答案
每条直线只提供分别控制，曲线路径和对方向不统一的行为仍可能逃逸。
常见误区与后续¶
- \(D_{-v}f(a)\) 不总等于 \(-D_vf(a)\)，除非已有适当可微性。
- 梯度公式 \(D_vf=\nabla f\cdot v\) 是可微后的结论，不能当作定义套用。
- 有限条方向数值试验不能证明可微。
习题与答案¶
习题 1¶
求 \(f(x,y)=x^2+xy\) 的两偏导。
答案
\(\partial_xf=2x+y,\ \partial_yf=x\)。
习题 2¶
求上一函数在 \(a\) 沿 \(v\) 的方向导数。
答案
\((2a_1+a_2)v_1+a_1v_2\)。
习题 3¶
若函数可微，证明 \(v\mapsto D_vf(a)\) 线性。
答案
可微给 \(f(a+tv)-f(a)=tDf(a)v+o(|t|)\)，除以 \(t\) 取极限。
习题 4¶
检查 \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) 的方向导数。
答案
沿 \(v\) 的双侧商为 \(|t|\|v\|/t\)，非零方向不存在双侧极限。
习题 5¶
构造两偏导为零但函数不连续的例子。
答案
可用正文的 \(g(x,y)=x^2y/(x^4+y^2)\)，原点定义为零。
习题 6¶
方向导数存在是否保证沿该直线连续？
答案
保证该一元截面在参数零点连续，但不保证多元函数连续。
习题 7¶
为何只检查坐标方向比检查所有方向更弱？
答案
坐标方向只是无限多个方向中的有限个，遗漏斜向与曲线路径。
习题 8¶
指出证明可微还缺少什么。
答案
缺少一个对所有小增量统一有效的线性映射和相对余项 \(o(\|h\|)\)。
小结¶
偏导与方向导数是候选一阶信息，不是统一线性近似。连续性都可能失败，更不能仅凭 这些一维截面宣布可微。