自变量趋于无穷时怎样定义函数极限？¶

先备知识¶

需要会在实轴上的射线 \(x>R\) 与 \(x<-R\) 上使用绝对值不等式，并能对多项式与有理式作合法恒等变形。第 5 章的数列无穷极限提供了 \(M\) 阈值语言；上一单元则说明无穷记号表达量词行为，而不是实数值。

学习目标¶

定义 \(x\to+\infty\) 与 \(x\to-\infty\) 时的有限极限；
写出自变量方向与函数值方向组合成的四种无穷极限；
按定义证明基本有理函数的无穷远有限极限；
用初等不等式证明多项式增长，并准确解释水平渐近线。

牵引问题¶

“\(x\) 趋于正无穷”不是让 \(x\) 靠近实轴上的某个点，而是让 \(x\) 最终越过任意足够远的右侧位置。此时，函数值既可能靠近有限数，也可能向正方向或负方向越过任意门槛。怎样用一个尾部阈值 \(R\) 统一描述这些情形？

探索与猜想¶

对 \(f(x)=2+1/x\)，只要 \(|x|>1/\varepsilon\)，便有 \(|f(x)-2|<\varepsilon\)；这个估计同时适用于很大的正数和绝对值很大的负数。对 \(x^3\)，自变量走向右端时函数值向上越过门槛，走向左端时函数值向下越过门槛。可见必须分别记录“自变量去向哪一端”和“函数值去向哪一类目标”。

概念与理论¶

定义（无穷远处的有限极限）¶

设 \(f:D\to\mathbb R\)，且 \(D\) 在右方无界。对 \(L\in\mathbb R\)，若

\[ \forall\varepsilon>0\;\exists R>0\;\forall x\in D,\qquad x>R\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon, \]

则称 \(f(x)\) 在 \(x\to+\infty\) 时趋于 \(L\)，记作

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L. \]

若 \(D\) 在左方无界，并且

\[ \forall\varepsilon>0\;\exists R>0\;\forall x\in D,\qquad x<-R\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon, \]

则称 \(f(x)\) 在 \(x\to-\infty\) 时趋于 \(L\)。右端使用射线 \((R,+\infty)\)，左端使用射线 \((-\infty,-R)\)；两端的结论必须分别证明。

定义（无穷远处的无穷极限）¶

目标不再是有限实数时，用高度门槛 \(M\) 取代误差 \(\varepsilon\)。四种组合的完整定义如下：

\[ \begin{aligned} \forall M>0\;\exists R>0\;\forall x\in D,\quad x>R&\Longrightarrow f(x)>M &&\text{表示 }x\to+\infty,\ f(x)\to+\infty,\\ \forall M>0\;\exists R>0\;\forall x\in D,\quad x>R&\Longrightarrow f(x)<-M &&\text{表示 }x\to+\infty,\ f(x)\to-\infty,\\ \forall M>0\;\exists R>0\;\forall x\in D,\quad x<-R&\Longrightarrow f(x)>M &&\text{表示 }x\to-\infty,\ f(x)\to+\infty,\\ \forall M>0\;\exists R>0\;\forall x\in D,\quad x<-R&\Longrightarrow f(x)<-M &&\text{表示 }x\to-\infty,\ f(x)\to-\infty. \end{aligned} \]

每一行都要求 \(D\) 在相应方向无界，以免尾部没有定义域点而使条件真空成立。\(+\infty\) 和 \(-\infty\) 不是实数；这些定义只表达尾部的序与距离条件，不允许把无穷记号代入实数的四则运算。

水平渐近线的方向性¶

若 \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=L\) 或 \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=L\)，则直线 \(y=L\) 称为图像在相应一端的水平渐近线。一端成立已经足够；同一函数在左右两端可以有不同的水平渐近线，而且图像在有限位置穿过这条直线也不违反定义。

命题（幂函数的初等增长）¶

设 \(n\) 为正整数。则

\[ \lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty. \]

当 \(x\to-\infty\) 时，偶数次幂趋于 \(+\infty\)，奇数次幂趋于 \(-\infty\)。

证明。 给定 \(M>0\)，取 \(R=M^{1/n}>0\)。若 \(x>R\)，则 \(x^n>R^n=M\)，证明了右端结论。若 \(x<-R\)，则 \(|x|>R\)，所以 \(|x|^n>M\)。当 \(n\) 为偶数时，\(x^n=|x|^n>M\)；当 \(n\) 为奇数时，\(x^n=-|x|^n<-M\)。这分别满足左端正无穷与负无穷的定义。\(\square\)

证明具体多项式的增长时，还要用不等式控制低次项；仅写最高次项而不给控制范围，不构成证明。

例题与迁移¶

例题 1：有理函数的双端水平行为¶

设

\[ r(x)=\frac{2x+1}{x}=2+\frac1x,\qquad x\ne0. \]

给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(R=1/\varepsilon\)。若 \(x>R\) 或 \(x<-R\)，都有 \(|x|>R\)，因而

\[ |r(x)-2|=\frac1{|x|}<\frac1R=\varepsilon. \]

所以

\[ \lim_{x\to+\infty}r(x)=2,\qquad \lim_{x\to-\infty}r(x)=2. \]

这是对一个有理函数的定义证明，结论来自恒等变形与绝对值估计；直线 \(y=2\) 是左右两端共同的水平渐近线。

例题 2：二次多项式压过一次项¶

证明 \(p(x)=x^2-3x\) 在左右两端都趋于 \(+\infty\)。

给定 \(M>0\)。对右端取

\[ R_+=\max\{6,\sqrt{2M}\}. \]

若 \(x>R_+\)，则 \(x-3>x/2\)，故

\[ p(x)=x(x-3)>\frac{x^2}{2}>M. \]

对左端取 \(R_-=\sqrt M\)。若 \(x<-R_-\)，则 \(x^2>M\) 且 \(-3x>0\)，所以

\[ p(x)=x^2-3x>x^2>M. \]

两个阈值分别完成两个方向的证明。这是“高次增长压过低次项”的一个具体初等估计，并未借助尚未建立的通用多项式法则。

即时检验与回望¶

即时检验 1：写出左端的两个方向¶

按定义证明

\[ \lim_{x\to-\infty}(x^2+1)=+\infty. \]

答案

给定 \(M>0\)，取 \(R=\sqrt M\)。若 \(x<-R\)，则 \(|x|>R\)，从而 \(x^2>M\)，于是

\[ x^2+1>M. \]

这里 \(x<-R\) 指定自变量走向左端，\(x^2+1>M\) 指定函数值走向正方向，两者不可混写。

即时检验 2：识别双端水平渐近线¶

求 \(q(x)=3-2/x\) 在 \(x\to+\infty\) 与 \(x\to-\infty\) 时的有限极限，并指出水平渐近线。

答案

给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(R=2/\varepsilon\)。若 \(x>R\) 或 \(x<-R\)，则

\[ |q(x)-3|=\frac2{|x|}<\frac2R=\varepsilon. \]

故两个方向的极限都为 \(3\)，直线 \(y=3\) 是图像左右两端的水平渐近线。

习题与答案¶

习题 1：倒数的双端有限极限¶

按定义证明

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac1x=0,\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac1x=0. \]

答案

给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(R=1/\varepsilon\)。若 \(x>R\) 或 \(x<-R\)，都有 \(|x|>R\)，所以

\[ \left|\frac1x-0\right|=\frac1{|x|}<\frac1R=\varepsilon. \]

同一个 \(R\) 分别验证了两条射线上的定义。

习题 2：一次有理函数的水平线¶

证明 \((5x-1)/x\) 在左右两端都以 \(5\) 为极限，并说明相应水平渐近线。

答案

对 \(x\ne0\)，

\[ \frac{5x-1}{x}-5=-\frac1x. \]

给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(R=1/\varepsilon\)。当 \(x>R\) 或 \(x<-R\) 时，上式绝对值为 \(1/|x|<\varepsilon\)。故左右极限均为 \(5\)，相应水平渐近线是 \(y=5\)。

习题 3：奇次幂的两种目标¶

按定义证明

\[ \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]

答案

给定 \(M>0\)，取 \(R=M^{1/3}\)。若 \(x>R\)，则 \(x^3>M\)，满足右端正无穷的定义。若 \(x<-R\)，由于立方保持严格大小次序，有 \(x^3<-R^3=-M\)，满足左端负无穷的定义。

习题 4：控制二次式的左端低次项¶

证明 \(s(x)=x^2+2x\) 在 \(x\to+\infty\) 与 \(x\to-\infty\) 时都趋于 \(+\infty\)。

答案

给定 \(M>0\)。在右端取 \(R_+=\sqrt M\)；若 \(x>R_+\)，则 \(2x>0\)，所以 \(s(x)>x^2>M\)。

在左端取

\[ R_-=\max\{4,\sqrt{2M}\}. \]

若 \(x<-R_-\)，令 \(u=|x|>R_-\)，则

\[ s(x)=u^2-2u=u(u-2)>\frac{u^2}{2}>M, \]

其中 \(u>4\) 保证 \(u-2>u/2\)。因此两个方向都满足正无穷定义。

习题 5：两端不同的水平渐近线¶

设

\[ h(x)= \begin{cases} 1+1/x,&x<0,\\ 3+1/x,&x>0. \end{cases} \]

求左右无穷远处的有限极限，并说明图像的水平渐近线。

答案

给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(R=1/\varepsilon\)。若 \(x<-R\)，则

\[ |h(x)-1|=\frac1{|x|}<\varepsilon, \]

故 \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=1\)。若 \(x>R\)，则

\[ |h(x)-3|=\frac1x<\varepsilon, \]

故 \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=3\)。图像左端的水平渐近线为 \(y=1\)，右端的水平渐近线为 \(y=3\)；两端不必共享同一条水平线。

常见误区与后续¶

把“\(x\to\infty\)”理解成靠近一个实数点。正确图景是最终进入任意足够远的实轴射线。
混淆接近方向与目标方向。\(x\to-\infty\) 时，函数值仍可能趋于有限数、\(+\infty\) 或 \(-\infty\)。
把无穷记号直接代入有理式。例题的有理函数结论来自恒等变形和尾部估计，而不是对无穷作分式运算。
认为水平渐近线必须左右相同，或图像不能穿过它；定义只约束相应的无穷远尾部。

后续的极限运算法则将把已证明的局部估计组织成可复用定理；在那之前，每个无穷远结论都应能还原为 \(\varepsilon\)--\(R\) 或 \(M\)--\(R\) 证明。