原函数怎样把分割极限化为端点差？¶
先备知识¶
第 18 章定义了原函数：若 \(G'=f\)，则 \(G\) 是 \(f\) 在工作区间上的原函数；同一 区间上的两个原函数相差常数。第 19 章独立定义了 Riemann 积分。第 20.2 单元则证明， 若 \(f\) 在一点连续，那么累积函数在该点的导数恢复 \(f\)。
本单元把这些结论闭合起来，但始终区分：
- 连续性是否保证原函数存在；
- 已知表达式是否真的是原函数；
- 原函数能否用当前初等函数工具写出。
学习目标¶
完成本单元后，你应当能够：
- 证明闭区间连续函数存在原函数；
- 从原函数相差常数推出 Newton–Leibniz 公式；
- 正确处理相同端点与反向端点；
- 用 Lagrange 中值定理和 Riemann 和证明“已有原函数”加强版；
- 检查端点差计算的工作区间；
- 区分存在性、表示性与计算便利性。
牵引问题¶
若 \(f\) 连续，第 20.2 单元已经给出一个自然候选：
因此 \(A\) 本身就是原函数。若另一个 \(G\) 也满足 \(G'=f\)，那么 \(G-A\) 是常数。 把这个常数分别在 \(a,b\) 处比较，会得到怎样的端点关系？
探索与猜想¶
因为 \(A(a)=0\)，若 \(G-A=C\)，则
在 \(b\) 处，
而 \(A(b)=\int_a^b f\)。因此自然猜想
关键在于先证明原函数存在或验证已有原函数，不能把端点差公式当作积分定义。
概念与理论¶
连续函数的原函数存在性¶
定理。 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，则
在 \((a,b)\) 上满足
并在端点满足相应的单侧导数结论。因此连续函数在闭区间上拥有由累积积分给出的原函数。
证明。 连续函数在闭区间上 Riemann 可积。对任意内点 \(x\)，\(f\) 在 \(x\) 连续，第 20.2 单元的连续点版本给出 \(A'(x)=f(x)\)。端点结论来自同一单元的单侧 版本。证毕。
存在不等于已有初等公式
定理直接给出函数
它证明原函数存在，却不承诺 \(A\) 可以化成有限个熟悉初等函数的组合。
Newton–Leibniz：连续版本¶
定理。 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，\(G\) 在 \([a,b]\) 上连续、在 \((a,b)\) 上可导，并满足
则
证明。 令
由上一条定理，\(A'=f=G'\) 于 \((a,b)\)。因此第 18 章的原函数常数差定理给出
代入 \(x=a\)，由 \(A(a)=0\) 得 \(C=G(a)\)。再代入 \(x=b\)，得到
即
证毕。
端点相同与反向端点也保持一致：
已有原函数时的加强版¶
定理。 设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积。若 \(G\) 在 \([a,b]\) 上连续、 在 \((a,b)\) 上可导，并且
则仍有
这里不再假设 \(f\) 连续，但明确假设它已有原函数 \(G\)。
证明。 任取分割
对每个闭小区间 \([x_{i-1},x_i]\)，\(G\) 连续，并在其内部可导。由 Lagrange 中值 定理，存在
使
对 \(i=1,\ldots,n\) 求和，左侧望远镜相消：
右侧是 \(f\) 关于标记分割 \((P,\xi)\) 的一个 Riemann 和。因为 \(f\) Riemann 可积， 当网格 \(\lVert P\rVert\to0\) 时，所有此类标记和都趋于
但每个由中值定理选出的和都恒等于 \(G(b)-G(a)\)，故
证毕。
两层定理的逻辑差别
连续版本从连续性推出原函数存在，再得到端点差。加强版不从可积性推出原函数存在； 它把“已有原函数”作为额外输入，只放宽被积函数的连续性。
存在、表示与计算三问¶
| 问题 | 典型依据 | 不能自动推出 |
|---|---|---|
| \(f\) 是否 Riemann 可积？ | Darboux 判据、连续或单调函数类 | \(f\) 一定有原函数 |
| \(f\) 是否有原函数？ | 连续性产生累积原函数，或直接验证 \(G'=f\) | 原函数有初等表示 |
| 能否方便计算端点差？ | 找到定义域合法且可代入的具体 \(G\) | 该表示在所有连通分支通用 |
Newton–Leibniz 是桥梁，但只有在桥梁两端的条件都核对后才能通行。
例题与迁移¶
例 1：验证原函数后计算端点差¶
计算
先取
求导回验：
被积函数连续，且 \(G\) 在整个 \([0,1]\) 上合法。因此
回验：在 \([0,1]\) 上
所得积分为正，与保序性一致。
例 2：Gaussian 型积分的三个层次¶
考虑
\(f\) 连续，所以：
- 它 Riemann 可积；
- 累积函数
[ A(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt ]
是它的原函数； 3. 定积分 \(\int_0^1e^{-x^2}\,dx\) 确定存在。
当前初等积分工具没有提供一个可直接代入的初等原函数公式，但这不影响前两项。由
还可得到
本例只说明当前表示工具的边界，不在此证明任何“不能用初等函数表示”的更强结论。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
要使用连续版本的 Newton–Leibniz，需要验证哪两类条件？
答案
第一，\(f\) 在整个工作区间上连续；第二，候选 \(G\) 在该区间合法并满足 \(G'=f\)。随后才能写
即时检验 2¶
若只知道 \(f\) Riemann 可积，能否断言它有原函数？加强版定理增加了什么输入？
答案
不能。Riemann 可积本身不保证原函数存在。加强版额外假设存在连续且内部可导的 \(G\)，满足 \(G'=f\)。它是在“已有原函数”的前提下证明端点差。
习题与答案¶
练习 1：基本端点差¶
验证 \(G(x)=x^4/4+2x\) 是 \(f(x)=x^3+2\) 的原函数，并计算
答案
求导得 \(G'(x)=x^3+2=f(x)\)。被积函数连续，故
练习 2：反向端点¶
已知 \(G'=f\) 于 \([a,b]\)。分别写出
答案
有向端点约定给出
练习 3：重建加强版证明¶
解释为什么 Lagrange 中值定理选出的 \(\xi_i\) 是合法的 Riemann 和标记，并说明求和后 为什么恰好得到端点差。
答案
中值定理给出
所以它是第 \(i\) 个子区间的合法标记。并且
求和后中间的 \(G(x_i)\) 正负相消，只剩 \(G(b)-G(a)\)。
练习 4：工作区间不能跨零¶
有人用 \(G(x)=\log|x|\) 计算
并写成 \(G(1)-G(-1)=0\)。指出首个非法步骤。
答案
被积函数 \(1/x\) 在 \(x=0\) 无定义，也不在 \([-1,1]\) 上 Riemann 可积； \(G\) 只分别是 \((-\infty,0)\) 与 \((0,\infty)\) 上的原函数。首个非法步骤是把跨越 零点的区间当作一个合法工作区间，Newton–Leibniz 的前提尚未满足。
练习 5：错误存在推理¶
判断下述说法：
\(f\) Riemann 可积，所以由 Newton–Leibniz 公式，\(f\) 必有原函数。
答案
错误。它把定理方向倒置了。连续版本用连续性构造原函数；加强版明确假设已有原函数。 一般 Riemann 可积函数未必有原函数。Newton–Leibniz 不能从可积性凭空制造候选 \(G\)。
练习 6：无显式原函数时仍可判断¶
设 \(f\) 在 \([0,2]\) 连续且 \(1\le f(x)\le3\)，但没有给出初等原函数。判断原函数 是否存在，并估计 \(\int_0^2f\)。
答案
连续性保证累积函数
是一个原函数，所以原函数存在。由保序性，
没有初等表示不妨碍存在性和可靠估计。
常见误区与后续¶
- 用端点差定义 Riemann 积分。 积分已经由分割极限定义；本单元证明何时能用原 函数计算它。
- 从可积性推出原函数存在。 只有连续版本自动构造原函数；加强版把已有原函数列为 假设。
- 忘记候选函数的工作区间。 分母零点、对数分支和其他定义域断点不能被端点代入 掩盖。
- 只代端点不求导回验。 必须先验证 \(G'=f\)。
- 把没有现成初等公式误写成不存在。 存在、表示与计算是三个不同问题。
下一单元将从本单元的端点差公式重新推出定积分换元与分部积分，并逐项检查端点、方向 和分段条件。