曲面面积元为什么由叉积的模给出？¶

先备知识¶

会用 Fréchet 微分作局部线性化，并会用第 35 章的二维面积伸缩。

学习目标¶

能从参数小矩形的线性像推出面积元，辨明经典 Riemann 证明的假设与误差控制。

牵引问题¶

弯曲曲面没有固定 Jacobian 行列式；为什么两个切向量的叉积恰好承担局部面积倍率？

探索与猜想¶

线性映射 \(L(a,b)=a r_u+b r_v\) 把单位正方形送到由 \(r_u,r_v\) 张成的平行四边形，其面积是 \(\|r_u\times r_v\|\)。曲面在小尺度上近似这个线性像。

概念与理论¶

面积元定理¶

先设 \(D\) 是闭参数矩形，\(r:D\to\mathbb R^3\) 是一一覆盖其像的 \(C^1\) 正则参数化。取 \(D\) 的形状正则三角剖分 \(\mathcal T_h\)：最大边长为 \(h\)，并有与 \(h\) 无关的常数 \(\kappa\)，使每个三角形 \(T\) 的任意两边长之积不超过 \(\kappa\operatorname{area}(T)\)。把 \(T\) 的三个顶点经 \(r\) 映射，再以直线连接，所得内接平面三角形记为 \(P_T\)。定义曲面面积为

\[ \operatorname{Area}(S) :=\lim_{h\to0}\sum_{T\in\mathcal T_h}\operatorname{area}(P_T), \]

只要极限存在且与上述剖分族无关。下述证明同时给出存在性、独立性和公式

\[ \operatorname{Area}(S)=\iint_D\|r_u\times r_v\|\,du\,dv, \qquad dS=\|r_u\times r_v\|\,du\,dv. \]

证明障碍¶

不能用尚未定义的“曲面小片面积”比较线性像。必须直接比较内接平面三角形面积与导数线性像面积，并把逐片误差控制成可求和的 \(\operatorname{area}(T)\) 倍数。

证明路线¶

先对每个参数三角形的两条边写 Fréchet 局部线性化；再用叉积的双线性估计比较两个平面三角形面积。形状正则性把“边长乘积”换成参数三角形面积，求和后误差趋零；线性像面积和则是连续面积倍率的 Riemann 和。

逐步证明¶

记 \(M=\sup_D\lVert Dr\rVert<\infty\)，并令 \(\omega(h)=\sup_{\lVert x-y\rVert\le h}\lVert Dr(x)-Dr(y)\rVert\to0\)。对 \(T=[a,a+e_1,a+e_2]\)，沿线段积分或用 Fréchet 微分得两个像边向量

\[ r(a+e_j)-r(a)=Dr(a)e_j+\eta_j,\qquad \lVert\eta_j\rVert\le\omega(h)\lVert e_j\rVert,\quad j=1,2. \]

其中 \(\eta_j\) 是线性化余项；这是边向量的关键估计。令 \(A=Dr(a)\)、\(X_j:=Ae_j+\eta_j\)。由叉积的双线性，

\[ \Delta_T:=X_1\times X_2-Ae_1\times Ae_2, \]

并且

\[ \Delta_T=Ae_1\times\eta_2+\eta_1\times Ae_2+\eta_1\times\eta_2 . \]

再用 \(|\lVert x\rVert-\lVert y\rVert|\le\lVert x-y\rVert\)，单三角形面积差满足

\[ \left|\operatorname{area}(P_T) -\tfrac12\lVert Ae_1\times Ae_2\rVert\right| \le \tfrac{\kappa}{2}\bigl(2M+\omega(h)\bigr)\omega(h) \operatorname{area}(T). \]

因此常数只依赖形状常数 \(\kappa\)、\(\sup_D\lVert Dr\rVert=M\) 与 \(\omega(h)\)，没有引用待定义的曲面片面积。也可把右端写成 \(C(\kappa,\sup_D\lVert Dr\rVert,\omega(h))\omega(h) \operatorname{area}(T)\)。第 35 章的线性面积伸缩给

\[ \tfrac12\lVert Ae_1\times Ae_2\rVert =\lVert r_u(a)\times r_v(a)\rVert\operatorname{area}(T). \]

对全部 \(T\) 求和，累计误差至多 \(\frac{\kappa}{2}(2M+\omega(h))\omega(h)\operatorname{area}(D)\to0\)；右侧线性像面积和是连续函数 \(\lVert r_u\times r_v\rVert\) 的 Riemann 和，故收敛到所述积分。由于任一形状常数统一有界的剖分族都逼近同一积分，定义的极限与剖分无关。

假设位置¶

\(C^1\) 与紧性给 \(M<\infty\) 和 \(Dr\) 一致连续；形状正则性把 \(\lVert e_1\rVert\lVert e_2\rVert\) 控制为 \(\operatorname{area}(T)\) 的固定倍数；正则性使面积倍率处处为正；一一覆盖避免同一曲面片被重复计数。

边界¶

有限个参数矩形可逐块三角剖分。一般分片曲面采用有限覆盖：每片内部一一参数化，不同片只允许在参数边界对应的零面积集合重合，然后逐片相加。若同一开曲面片被有限多重覆盖，上式按覆盖重数计数而不是几何面积；无限覆盖、退化点、非形状正则剖分或非 Jordan 可积参数域不在此定理内。

零面积边界扩展¶

经典经纬参数常在参数域内部一一正则，却在边界出现有限接缝重复、边界退化 或边界遗漏。设这些异常参数组成 \(B\subset\partial D\)，其曲面像是有限条分片 \(C^1\) 曲线和有限个点，因而是零面积集合。取闭子域 \(D_m\Subset D\setminus B\) 递增穷竭内部，并要求被删参数边界带的平面面积趋于零。对面积或后续曲面积分，定义

\[ \int_S g\,dS:=\lim_{m\to\infty} \iint_{D_m}g(r(u,v))\lVert r_u\times r_v\rVert\,du\,dv. \]

这里 \(g\) 是曲面上的连续有界标量；对通量则把被积函数换成连续有界的 \(F(r)\cdot(r_u\times r_v)\)，并要求各片取向相容。也可直接采用有限正则片 积分之和，各片内部一一正则，只在零面积边界重合。

证明只需经典 Riemann 估计。紧参数矩形上 \(g\circ r\) 与 \(\lVert r_u\times r_v\rVert\) 有界，故被删边界带的积分绝对值不超过

\[ C\,\operatorname{area}(D\setminus D_m)\longrightarrow0. \]

所以边界贡献趋于零；两个闭子域穷竭的差也只落在某条最终任意薄的边界带内，故极限 与穷竭无关。两种有限正则分片取共同细分，新增或重复部分只在零面积边界上，同一估计说明结果与分片无关。因此有限接缝的重复、极点的退化以及零面积边界的遗漏都不改变面积或连续有界被积函数的曲面积分。

迁移¶

例题与迁移¶

例 1：图形曲面¶

\(r(x,y)=(x,y,f(x,y))\)，参数范围 \(D\)。面积元为 \(\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dxdy\)，法向可取 \((-f_x,-f_y,1)\)。

例 2：球带面积¶

设 \(R>0\)、\(0\le\alpha\le\beta\le\pi\)。半径 \(R\) 球面取

\[ r(\phi,\theta)=(R\sin\phi\cos\theta,R\sin\phi\sin\theta,R\cos\phi), \quad \alpha\le\phi\le\beta,\quad0\le\theta\le2\pi . \]

其中 \(\theta=0\) 与 \(\theta=2\pi\) 是有限重复的接缝；若区间碰到 \(\phi=0\) 或 \(\phi=\pi\)，相应极点处参数退化。接缝像是一条曲线，极点是点，故调用上面的零面积边界扩展。由于 \(\|r_\phi\times r_\theta\|=R^2\sin\phi\)，面积为 \(2\pi R^2(\cos\alpha-\cos\beta)\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

平面参数化 \(r=(2u,v,0)\) 的面积倍率是多少？

答案

\(\|r_u\times r_v\|=2\)。

即时检验 2¶

反向参数化会改变面积吗？

答案

不会；叉积反向但模不变。

常见误区与后续¶

面积元来自局部线性化和 Riemann 极限，不是形式记忆。
换元必须带 Jacobian 的绝对值；取向符号不影响无向面积。
下一单元以该面积元累积曲面密度。

习题与答案¶

习题 1¶

求 \(z=0\) 的面积元。

答案

\(dS=dxdy\)。

习题 2¶

求 \(z=x+y\) 的面积元。

答案

\(dS=\sqrt3\,dxdy\)。

习题 3¶

求单位圆柱的面积倍率。

答案

为 1。

习题 4¶

半径 \(R\) 球面的面积元是什么？

答案

\(R^2\sin\phi\,d\phi d\theta\)。

习题 5¶

为何要限制覆盖次数？

答案

否则参数域积分按覆盖次数重复计面积。

习题 6¶

正则性在证明中保证什么？

答案

保证局部面积倍率不退化为零。

习题 7¶

参数交换为何不改面积？

答案

叉积仅反号，其模不变。

习题 8¶

关键估计中的 \(\omega(h)\) 为何趋零？

答案

因 \(Dr\) 在紧集上一致连续。

习题 9¶

分片曲面的公共边为何不重复贡献面积？

答案

公共边是二维面积为零的集合。