第 14 章：求导法则、反函数与高阶导数¶

上一章把导数解释为差商极限，也解释为一阶局部线性模型。本章要回答一个直接影响实际 计算的问题：如果复杂函数由加、乘、复合、求逆或隐式关系构成，是否必须每次都回到差商 从头展开？

答案是否定的，但每条求导法则都有自己的条件。尤其需要防止三类常见漏洞：

• 证明商法则前没有保证分母在邻域中远离零；
• 证明链式法则时除以可能等于零的内层增量；
• 从一条隐式方程直接断言某个可微函数分支必然存在。

本章共5个核心单元，8学时（理论5，应用3）。

学习路径¶

1. 局部线性模型怎样通过和、积、商传递？ （理论 1.25，应用 0.25）
2. 复合函数的局部误差怎样层层传递？ （理论 1.25，应用 0.25）
3. 反函数的变化率为何是原导数的倒数？ （理论 1.00，应用 0.50）
4. 隐式关系与高阶导数怎样记录复杂变化？ （理论 1.00，应用 0.50）
5. 怎样为原函数计算准备可靠的求导能力？ （理论 0.50，应用 1.50）

本章的证明主线¶

前四个单元共用同一条证明主线，第五个单元把已证法则转化为可靠计算能力：

代数运算先建立最基本的传递法则；复合函数要求追踪内外两层余项；反函数把差商倒置， 但必须先控制趋近关系和非零条件；高阶导数则把“再做一次局部分析”写成统一语言。

依赖边界¶

本章只负责局部求导结构及其严格条件。第 10 章已经提供常见初等函数的连续性接口，但 没有用积分或无穷级数重新构造指数、对数和三角函数。因此本章会明确区分：

• 哪些导数结论可以从本书已证明的法则直接推出；
• 哪些基础极限需要在页内证明；
• 哪些标准函数性质是明示的先备合同。

区间上的整体结论、带余项的高阶近似和迭代收敛分别留给第 15–17 章。第 14.5 单元 训练已证明的法则，并为第 18 章反向寻找原函数准备结构识别能力；它不提前建立第 18 章 的新方法。

完成本章后的自检¶

完成本章后，你应能回答：

1. 乘积法则中的交叉项为何不会影响一阶主部？
2. 链式法则证明怎样避免除以内层增量？
3. 反函数导数公式为什么需要反函数连续和非零导数？
4. 隐式求导究竟证明了什么，又没有证明什么？
5. 二阶及更高阶导数的存在为什么要逐阶核验？
6. 面对多层复合与乘积时，怎样同时检查结构、定义域和回验路线？