极限证明怎样从目标误差反推局部范围？¶

先备知识¶

本单元默认已经会写

\[ \forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\;\forall x\in D, \qquad 0<|x-a|<\delta\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon, \]

并能用实轴距离解释 \(|x-a|<\delta\)。证明中会反复使用因式分解、根式与分式恒等变形以及绝对值不等式。所有代入点都必须属于函数的定义域 \(D\)。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

从目标误差 \(|f(x)-L|<\varepsilon\) 反推足够的局部条件；
把探索阶段的反向设计整理为量词顺序正确的正向验证；
用 \(|x-a|<1\) 一类辅助邻域控制随 \(x\) 变化的因子或分母；
独立完成线性、二次、根式和有理式的 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 证明。

牵引问题¶

要证明 \(\lim_{x\to2}x^2=4\)，仅写

\[ |x^2-4|=|x-2||x+2| \]

还不够。第一因子可以由 \(\delta\) 控制，第二因子却仍随 \(x\) 变化。怎样先把第二因子固定地界住，再给出只依赖于 \(\varepsilon\) 的 \(\delta\)？

探索与猜想¶

先反向观察目标。若额外要求 \(|x-2|<1\)，则

\[ |x+2|=|(x-2)+4|\le |x-2|+4<5. \]

因此

\[ |x^2-4|<5|x-2|. \]

为了让右端小于 \(\varepsilon\)，再要求 \(|x-2|<\varepsilon/5\) 即可。把两个要求合并，得到候选

\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{5}\right\}. \]

这段推导只是反向设计。正式证明必须重新从“任取 \(\varepsilon>0\)”开始，声明 \(\delta\)，再沿正向不等式链验证结论。

概念与理论¶

\(\varepsilon\)-\(\delta\) 证明证书¶

对命题 \(\lim_{x\to a}f(x)=L\)，一份可核验的证明证书包括：

对任意 \(\varepsilon>0\) 给出的明确正数 \(\delta(\varepsilon)\)；
若有需要，用于控制附加因子或分母的辅助局部条件；
对每个 \(x\in D\) 的正向推导 [ 0<|x-a|<\delta(\varepsilon) \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. ]

\(\delta\) 可以依赖 \(\varepsilon\)、固定的讨论点 \(a\) 和函数中已经固定的参数，但不能依赖随后才任取的 \(x\)。

反向设计与正向验证¶

构造证明时可以按以下顺序工作。

写出目标： 从 \(|f(x)-L|<\varepsilon\) 开始。
暴露距离： 通过因式分解、共轭有理化或通分，使 \(|x-a|\) 出现在估计中。
控制其余量： 若出现 \(|x+a|\) 或分母，先加上 \(|x-a|<r_0\) 这一辅助条件，推出固定界。
选择局部范围： 若已经找到常数 \(C>0\)，使得 [ |f(x)-L|\le C|x-a|, ] 就把 \(\varepsilon/C\) 与所有辅助半径一起取最小值。若估计中的 \(C=0\)，则在该辅助邻域内误差恒为 \(0\)，保留辅助半径中的任意正数即可。
重写为证明： 正式论证从给定 \(\varepsilon\) 和所选 \(\delta\) 出发，不把反向箭头当成已经完成的证明。

辅助条件不是额外假设。把它写进 \(\delta=\min\{r_0,\varepsilon/C\}\) 后，\(|x-a|<\delta\) 会自动保证该条件。

例题与迁移¶

例题 1：线性函数的精确误差预算¶

证明

\[ \lim_{x\to a}(mx+b)=ma+b. \]

若 \(m=0\)，误差恒为 \(0\)，任取 \(\delta>0\) 都可以。设 \(m\ne0\)。任给 \(\varepsilon>0\)，取

\[ \delta=\frac{\varepsilon}{|m|}>0. \]

对任意 \(x\in\mathbb R\)，若 \(0<|x-a|<\delta\)，则

\[ |(mx+b)-(ma+b)| =|m||x-a| <|m|\delta =\varepsilon. \]

所以结论成立。这里没有随 \(x\) 变化的第二因子，反向设计直接给出精确比例。

例题 2：二次函数需要辅助邻域¶

证明 \(\lim_{x\to2}x^2=4\)。

任给 \(\varepsilon>0\)，取

\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{5}\right\}>0. \]

若 \(0<|x-2|<\delta\)，则 \(|x-2|<1\)，从而

\[ |x+2|\le |x-2|+4<5. \]

于是

\[ |x^2-4| =|x-2||x+2| <5|x-2| <5\delta \le\varepsilon. \]

这就是完整的正向验证。常数 \(1\) 只负责建立局部界，\(\varepsilon/5\) 才负责最终误差预算。

例题 3：根式用共轭式暴露自变量距离¶

证明

\[ \lim_{x\to4}\sqrt{x}=2, \qquad D=[0,\infty). \]

任给 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=2\varepsilon\)。对任意 \(x\in D\)，若 \(0<|x-4|<\delta\)，则

\[ |\sqrt{x}-2| =\frac{|x-4|}{\sqrt{x}+2} \le\frac{|x-4|}{2} <\frac{\delta}{2} =\varepsilon. \]

定义域条件 \(x\ge0\) 保证根式有意义，并给出 \(\sqrt{x}+2\ge2\)。证明没有把定义域外的点纳入量词。

例题 4：有理式先让分母远离零¶

证明

\[ \lim_{x\to1}\frac{2x+1}{x+2}=1. \]

反向通分得到

\[ \left|\frac{2x+1}{x+2}-1\right| =\frac{|x-1|}{|x+2|}. \]

任给 \(\varepsilon>0\)，取

\[ \delta=\min\{1,2\varepsilon\}. \]

若 \(0<|x-1|<\delta\)，则 \(0<x<2\)，因而 \(|x+2|>2\)。所以

\[ \left|\frac{2x+1}{x+2}-1\right| <\frac{|x-1|}{2} <\frac{\delta}{2} \le\varepsilon. \]

辅助半径 \(1\) 同时保证分母不为零并提供统一下界；这一步不能由“分母在讨论点不为零”一句话代替。

即时检验与回望¶

即时检验 1：\(\delta\) 可以依赖 \(x\) 吗？¶

有人为证明 \(\lim_{x\to2}x^2=4\)，写出 \(\delta=\varepsilon/|x+2|\)。这是否是一份有效证书？

答案

不是。极限定义要求先由给定的 \(\varepsilon\) 选定 \(\delta\)，随后才对所有满足条件的 \(x\) 验证结论；所选 \(\delta\) 不能依赖这个尚未任取的 \(x\)。先用 \(|x-2|<1\) 得到 \(|x+2|<5\)，再取 \(\delta=\min\{1,\varepsilon/5\}\)，才能消除这种循环依赖。

即时检验 2：为什么把辅助半径写进最小值？¶

在二次函数证明中，只取 \(\delta=\varepsilon/5\) 是否总能推出 \(|x+2|<5\)？

答案

不能。当 \(\varepsilon\) 很大时，\(\varepsilon/5\) 也可能很大，条件 \(|x-2|<\varepsilon/5\) 未必把 \(x\) 限制在 \((1,3)\)。把 \(1\) 一并写入最小值，才对所有 \(\varepsilon>0\) 都保证辅助界成立。

习题与答案¶

习题 1：线性极限¶

用定义证明

\[ \lim_{x\to2}(5x-3)=7. \]

答案

任给 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon/5\)。若 \(0<|x-2|<\delta\)，则

\[ |(5x-3)-7|=5|x-2|<5\delta=\varepsilon. \]

因此所给极限成立。

习题 2：在另一个中心控制二次因子¶

用定义证明 \(\lim_{x\to-1}x^2=1\)。

答案

任给 \(\varepsilon>0\)，取

\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{3}\right\}. \]

若 \(0<|x+1|<\delta\)，则 \(-2<x<0\)，所以 \(|x-1|<3\)。于是

\[ |x^2-1|=|x+1||x-1|<3|x+1|<3\delta\le\varepsilon. \]

故极限为 \(1\)。

习题 3：根式极限¶

在定义域 \([0,\infty)\) 上证明

\[ \lim_{x\to9}\sqrt{x}=3. \]

答案

任给 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=3\varepsilon\)。若 \(x\ge0\) 且 \(0<|x-9|<\delta\)，则

\[ |\sqrt{x}-3| =\frac{|x-9|}{\sqrt{x}+3} \le\frac{|x-9|}{3} <\frac{\delta}{3} =\varepsilon. \]

因此极限成立。定义域条件保证共轭变形中的根式有意义。

习题 4：有理式的分母证书¶

用定义证明

\[ \lim_{x\to0}\frac1{1+x}=1. \]

答案

任给 \(\varepsilon>0\)，取

\[ \delta=\min\left\{\frac12,\frac{\varepsilon}{2}\right\}. \]

若 \(0<|x|<\delta\)，则

\[ |1+x|\ge1-|x|>\frac12. \]

因此

\[ \left|\frac1{1+x}-1\right| =\frac{|x|}{|1+x|} <2|x| <2\delta \le\varepsilon. \]

辅助半径 \(1/2\) 保证分母远离零。

习题 5：审计一份反向推导¶

一份草稿从 \(|x^2-4|<\varepsilon\) 反推到 \(|x-2|<\varepsilon/|x+2|\)，随后直接写“证明完成”。指出缺口，并给出可用的证明证书。

答案

缺口有两个：右端仍依赖 \(x\)，而且从目标反推充分条件并不是正向证明。可先要求 \(|x-2|<1\)，由此得到 \(|x+2|<5\)，再取

\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{5}\right\}. \]

正式验证为：若 \(0<|x-2|<\delta\)，则

\[ |x^2-4|=|x-2||x+2|<5|x-2|<5\delta\le\varepsilon. \]

这份证书对任意给定的 \(\varepsilon>0\) 都成立。

常见误区与后续¶

反向设计用于发现 \(\delta\)，但只有正向验证才是证明。
\(\delta\) 不必是最大的可用半径；给出一个对所有允许点都有效的正数即可。
辅助条件必须通过取最小值纳入同一个 \(\delta\)，不能在证明中临时增加未声明的假设。
处理有理式时，必须先给出分母远离零的局部证书。
下一单元把双侧去心邻域换成左、右半邻域；本单元的误差设计方法仍可逐侧使用。