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复合函数的导数怎样反向产生换元法？

先备知识

第 14.2 单元已经证明链式法则：

\[ \frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x). \]

第 18.1 单元又说明，在一个区间上找到一个原函数后，只需加任意常数就得到全部原函数。 本页把链式法则反向读取，但每次都保留工作区间、外层定义域和内层导数。

学习目标

完成本单元后，你应当能够：

  1. 从链式法则严格推出原函数换元公式；
  2. 在被积式中识别“外层函数乘内层导数”；
  3. 检查 \(g(I)\subseteq J\) 及对数、根式的分支条件；
  4. 判断一个看似相似的表达式是否缺少必要因子；
  5. 对换元结果做完整求导回验。

牵引问题

\[ \frac{d}{dx}\sin(x^2)=2x\cos(x^2) \]

说明 \(2x\cos(x^2)\) 的原函数是 \(\sin(x^2)\)。这里真正起作用的不是字母 \(x^2\)， 而是复合结构和配套出现的内层导数 \(2x\)。怎样把这种观察写成有条件、有证明的方法？

探索与猜想

比较：

\[ 2x\cos(x^2),\qquad \cos(x^2). \]

第一个表达式完整包含 \(x^2\) 的导数，能够直接反向匹配链式法则；第二个缺少 \(2x\)， 不能用同一路线直接处理。换元不是“看见括号就换字母”，而是匹配一个完整的复合导数。

概念与理论

原函数换元定理

定理。 设 \(I,J\) 为区间，\(f:J\to\mathbb R\)，且 \(F\) 是 \(f\) 在 \(J\) 上的一个原函数，即

\[ F'(u)=f(u)\qquad(u\in J). \]

若 \(g:I\to J\) 可导，也就是 \(g(I)\subseteq J\)，则

\[ \int f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C \]

在区间 \(I\) 上成立。

证明。 由链式法则，

\[ \frac{d}{dx}F(g(x)) =F'(g(x))g'(x) =f(g(x))g'(x). \]

所以 \(F\circ g\) 是 \(f(g(x))g'(x)\) 在 \(I\) 上的一个原函数。再由第 18.1 单元的常数差定理，全部原函数为 \(F(g(x))+C\)。证毕。

常用记法

\[ u=g(x),\qquad du=g'(x)\,dx \]

是一种结构提示。证明的依据仍是链式法则；\(du\) 不能脱离函数和工作区间被当成可任意 消去的代数因子。

定义域与分支检查表

情形 必须检查 典型后果
一般复合 \(g(I)\subseteq J\) 外层原函数必须在 \(g(I)\) 上有定义
\(\int g'/g\) \(g\ne0\) 在每个不穿过零点的区间得到 (\log
根式外层 根式真数与端点 公式可能只在开区间内给出有限导数
反三角外层 值域和所选分支 回验时使用对应分支的导数
多个连通分支 每段单独工作 任意常数可以因分支而不同

换元时不要求 \(g\) 在所有问题中都一一对应。当前定理只需 \(g:I\to J\) 可导；但若你 把结果重新写成另一个变量或试图反解 \(x\)，就必须另外检查反函数分支。

识别算法

面对一个候选表达式，按以下顺序检查：

  1. 圈出可能的内层 \(g(x)\)；
  2. 求 \(g'(x)\)；
  3. 比较剩余因子是否恰为常数倍的 \(g'(x)\)；
  4. 确认外层 \(f(u)\) 有已知原函数 \(F(u)\)；
  5. 写回 \(F(g(x))\)，恢复常数并求导回验。

若第三步失败，不能偷偷补因子；需要代数变形或另一种方法。

例题与迁移

例 1：完整的平方内层

求

\[ \int 2x\cos(x^2)\,dx. \]

取 \(g(x)=x^2\)，则 \(g'(x)=2x\)。外层 \(\cos u\) 的一个原函数是 \(\sin u\)，所以

\[ \int 2x\cos(x^2)\,dx=\sin(x^2)+C. \]

求导回验：

\[ \frac{d}{dx}\sin(x^2)=2x\cos(x^2). \]
答案

内层 \(x^2\) 与它的导数 \(2x\) 完整出现，因此直接得到 \(\sin(x^2)+C\)。

例 2：对数与永不为零的内层

求

\[ \int\frac{x}{1+x^2}\,dx. \]

令 \(u=1+x^2\)，则 \(du=2x\,dx\)。于是

\[ \int\frac{x}{1+x^2}\,dx =\frac12\int\frac1u\,du =\frac12\log u+C =\frac12\log(1+x^2)+C. \]

因为 \(1+x^2>0\)，不需要绝对值。回验：

\[ \frac{d}{dx}\left[\frac12\log(1+x^2)\right] =\frac{x}{1+x^2}. \]
答案

常数倍不妨碍匹配：

\[ x\,dx=\frac12\,d(1+x^2). \]

结果为 \(\frac12\log(1+x^2)+C\)。

即时检验与回望

即时检验 1

求 \(\int 3e^{3x}\,dx\)。

答案

令 \(u=3x\)，\(du=3\,dx\)，所以答案为

\[ e^{3x}+C. \]

即时检验 2

为什么不能直接声称

\[ \int\cos(x^2)\,dx=\sin(x^2)+C? \]
答案

因为右侧求导为 \(2x\cos(x^2)\)，多出因子 \(2x\)。原表达式缺少内层导数， 所以该链式匹配不成立。

习题与答案

练习 1：线性内层

求 \(\int\cos(5x-1)\,dx\)。

答案
\[ \int\cos(5x-1)\,dx=\frac15\sin(5x-1)+C. \]

回验时链式因子 \(5\) 与 \(1/5\) 抵消。

练习 2：指数复合

求 \(\int xe^{x^2}\,dx\)。

答案

令 \(u=x^2\)，则 \(du=2x\,dx\)：

\[ \int xe^{x^2}\,dx=\frac12e^{x^2}+C. \]

练习 3：三角复合

求 \(\int\sin x\,\cos(\cos x)\,dx\)。

答案

令 \(u=\cos x\)，\(du=-\sin x\,dx\)，所以

\[ \int\sin x\,\cos(\cos x)\,dx =-\sin(\cos x)+C. \]

练习 4：对数绝对值

在不穿过 \(-2\) 的区间上求 \(\int dx/(x+2)\)。

答案
\[ \int\frac{dx}{x+2}=\log|x+2|+C. \]

工作区间应包含在 \((-\infty,-2)\) 或 \((-2,\infty)\) 中。

练习 5：根式边界

在 \(x>0\) 上求

\[ \int\frac{dx}{2\sqrt{x}}. \]
答案

令 \(u=\sqrt{x}\)，也可直接识别 \((\sqrt{x})'=1/(2\sqrt{x})\)。因此

\[ \int\frac{dx}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+C,\qquad x>0. \]

公式中的被积函数在 \(x=0\) 无定义。

常见误区与后续

  1. 只换内层，不换配套因子。 必须完整匹配 \(f(g(x))g'(x)\)。
  2. 把 \(du\) 当成无条件可约分的量。 它是链式法则的记号，不是独立证明。
  3. 漏掉常数倍。 线性内层和常数倍导数要显式补偿。
  4. 忘记绝对值和分支。 \(\int g'/g\) 必须在 \(g\ne0\) 的区间上处理。
  5. 不回验。 换元路线是否正确，最终由求导回验确认。

下一单元把乘积法则反向读取。第 20 章才会讨论带上下限时端点如何随换元变化。