不收敛与趋于无穷怎样区分？¶
先备知识¶
\(a_n\to L\) 要求：对每个 \(\varepsilon>0\)，从某项起所有项都落在 \((L-\varepsilon,L+\varepsilon)\)。否定含有交替的量词时，要逐层交换 \(\forall\) 与 \(\exists\)，并把严格不等式 \(<\) 否定为 \(\ge\)。
本单元中的 \(+\infty\) 与 \(-\infty\) 是描述方向性增长的符号，不是本章中新加入的实数，也不在这里规定它们的四则运算。相应的完整数系框架留到第 8 章。
学习目标¶
完成本单元后，你应能：
- 正确写出“不收敛于给定有限实数”的量词形式；
- 用阈值定义 \(a_n\to+\infty\) 与 \(a_n\to-\infty\)；
- 区分有限不收敛、振荡、无界、发散到正无穷和发散到负无穷；
- 用反例判断这些性质之间不能反向推出的关系。
牵引问题¶
\((-1)^n\)、\((-1)^n n\) 与 \(n\) 都没有有限极限，但失败方式完全不同：第一列被困在两个值之间，第二列向两侧跑远，第三列最终越过每个正阈值。只说“都发散”会丢失哪些信息？
探索与猜想¶
给定阈值 \(M=100\)：
- \((-1)^n\) 永远不会越过 \(100\)，但正负符号持续交替；
- \((-1)^n n\) 有任意大的正项和任意小的负项，却没有一个尾部全部位于 \(100\) 右侧或 \(-100\) 左侧；
- \(n\) 从第 \(101\) 项起全部大于 \(100\)。
真正区分它们的是“每个尾部里还有什么”以及“是否存在一个尾部全部越过阈值”。
概念与理论¶
不收敛于给定有限值¶
对给定 \(L\in\mathbb R\)，\(a_n\not\to L\) 是收敛定义的逐层否定：
这表示存在一个固定误差带，每个尾部都至少有一项逃出它。若对每个 \(L\in\mathbb R\) 都有 \(a_n\not\to L\)，就说该数列发散，也就是没有有限实数极限：
这里的 \(\varepsilon_L\) 可以随候选 \(L\) 改变。有限不收敛只是否定存在有限实数极限，并未说明项朝哪个方向运动。
趋于正无穷与负无穷¶
若
就称 \((a_n)\) 趋于正无穷，记作
若
就称 \((a_n)\) 趋于负无穷，记作
量词顺序与有限极限相似：阈值 \(M\) 先给出，门槛 \(N\) 可依赖 \(M\)，随后整个尾部必须在阈值同一侧。趋于正无穷也常说“发散到正无穷”，趋于负无穷则说“发散到负无穷”。二者都不是收敛到某个有限实数。
无界、振荡与有方向地发散¶
数列 \((a_n)\) 无界是指不存在 \(B>0\) 能控制所有项；等价地，
无界只要求某一项出现足够大的绝对值，不要求以后一直大，也不要求方向一致。因此无界数列未必趋于 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)。
本单元把振荡用作行为描述：数列在任意靠后的尾部中仍反复出现彼此分离的取值区域，因而不能稳定在一个有限值附近，也未必朝同一无穷方向前进。典型例是 \((-1)^n\)。第 8 章会给出更精细的尾部工具；这里不把“振荡”当成新的极限值。
这些概念的边界是：
- 收敛到有限实数 \(\Rightarrow\) 有界；
- 趋于 \(+\infty\) 或 \(-\infty\) \(\Rightarrow\) 无界且有限不收敛；
- 有界也可能发散，例如 \((-1)^n\)；
- 无界也可能不趋于任一方向的无穷，例如 \((-1)^n n\)；
- 振荡既可有界，也可无界。
定理：自然数列趋于正无穷¶
定理。 \(n\to+\infty\)，且 \(-n\to-\infty\)。
障碍。 检查许多大项不能覆盖任意阈值；必须从给定的 \(M\) 构造统一控制尾部的门槛。
路线。 用阿基米德性质取正整数 \(N>M\)，再对任意 \(n\ge N\) 正向比较。
逐步证明。 任取 \(M>0\)。由阿基米德性质，存在 \(N\in\mathbb N\) 使 \(N>M\)。任取 \(n\ge N\)，有
所以定义中的全部量词成立，故 \(n\to+\infty\)。同一选择还给出 \(-n\le-N<-M\)，故 \(-n\to-\infty\)。\(\square\)
假设使用。 \(M\) 是任意正阈值；阿基米德性质保证存在超过它的整数；\(n\ge N\) 把单点比较推广到整个尾部。
常见错误。 写“\(n\) 没有上界”只证明无界，还未证明每个充分靠后的项都超过阈值。
方法迁移。 证明趋于无穷时，应由目标 \(a_n>M\) 或 \(a_n<-M\) 反推 \(n\) 的条件，再核验整个尾部。
例题与迁移¶
例：有界振荡¶
\(a_n=(-1)^n\) 有界，因为 \(|a_n|=1\)。它不收敛于任何 \(L\)：数 \(1\) 与 \(-1\) 相距 \(2\)，对任意 \(L\)，至少一个到 \(L\) 的距离不小于 \(1\)；否则三角不等式会给出 \(2<2\)。取 \(\varepsilon_L=1/2\)，每个尾部都包含相应奇偶项，故否定条件成立。
它也不趋于正无穷：取 \(M=2\)，任何尾部都不可能全部大于 \(2\)；同理不趋于负无穷。这是有限不收敛、振荡但有界的例子。
例：无界振荡而非趋于无穷¶
\(b_n=(-1)^n n\) 无界，因为给定 \(B>0\)，取整数 \(n>B\) 即有 \(|b_n|=n>B\)。但它不趋于正无穷：取 \(M=1\)，每个尾部都有奇数指标，其项为负；也不趋于负无穷，因为每个尾部都有偶数指标，其项为正。
这说明“无界”远弱于“发散到正无穷”或“发散到负无穷”。
即时检验与回望¶
- “对每个 \(M>0\)，总有某一项 \(a_n>M\)”是否足以推出 \(a_n\to+\infty\)？
答案
不足。\((-1)^n n\) 有任意大的正项，却在任意尾部仍有负项。趋于正无穷要求存在一个尾部，其所有项都大于给定 \(M\)。
- 有界数列一定收敛吗？无界数列一定趋于正无穷吗？
答案
都不一定。\((-1)^n\) 有界但发散；\((-1)^n n\) 无界，却既不趋于正无穷也不趋于负无穷。
习题与答案¶
习题 1：否定给定极限¶
写出“\(a_n\) 不收敛于 \(3\)”的完整量词形式。
答案
\(\varepsilon_0\) 必须固定并击穿每一个尾部。
习题 2：平方数趋于正无穷¶
从定义证明 \(n^2\to+\infty\)。
答案
任取 \(M>0\)。由阿基米德性质取 \(N\in\mathbb N\) 使 \(N>\max\{M,1\}\)。若 \(n\ge N\)，则 \(n\ge1\) 且 \(n^2\ge n\ge N>M\)。因此 \(n^2\to+\infty\)。
习题 3：向负无穷的线性数列¶
证明 \(a_n=4-3n\to-\infty\)。
答案
任取 \(M>0\)。取正整数 \(N>(M+4)/3\)。若 \(n\ge N\)，则 \(3n\ge3N>M+4\)，所以 \(a_n=4-3n<-M\)。故 \(a_n\to-\infty\)。
习题 4：四种标签¶
分别判断 \(1/n\)、\((-1)^n\)、\((-1)^n n\)、\(n+(-1)^n\) 是否有界、是否有有限极限、是否趋于正无穷。
答案
\(1/n\) 有界、有限收敛于 \(0\)、不趋于正无穷。\((-1)^n\) 有界、无有限极限、不趋于正无穷。\((-1)^n n\) 无界、无有限极限、不趋于正无穷。\(n+(-1)^n\to+\infty\)：给定 \(M\)，取整数 \(N>M+1\)，则 \(n\ge N\) 时 \(n+(-1)^n\ge n-1>M\)；所以它无界且无有限极限。
习题 5：反驳逆命题¶
用反例逐一反驳：\((a)\) 发散数列一定无界；\((b)\) 无界数列一定趋于正无穷或负无穷。
答案
\((a)\) 取 \((-1)^n\)：它发散但 \(|(-1)^n|=1\)，所以有界。\((b)\) 取 \((-1)^n n\)：它无界，但每个尾部都有正项和负项，不能最终停留在任何给定正阈值的右边或负阈值的左边。
常见误区与后续¶
- 只找到越过阈值的一项： 趋于无穷要求门槛以后每一项都越过阈值。
- 把无界等同于趋于无穷： 无界不含方向，也不含尾部稳定性。
- 把发散等同于振荡： 发散只是否定有限极限；趋于正无穷也是一种发散，却不振荡。
- 错误否定严格不等式： \(|a_n-L|<\varepsilon\) 的否定是 \(|a_n-L|\ge\varepsilon\)。
- 提前把无穷当作普通数计算： 本章只使用 \(+\infty\)、\(-\infty\) 表示量词定义的方向性行为；第 8 章再建立相应的正式框架。
下一单元回到递推数值：有限表可以帮助我们猜测属于哪种行为，但不能替代这些量词证明。