有固定点是否意味着简单迭代会收敛？¶

先备知识¶

零点定理，以及第二部已经证明的闭区间压缩映射定理与误差界。

学习目标¶

证明连续自映射存在不动点，并准确分离存在、唯一、轨道收敛和可计算误差界。

牵引问题¶

\(g:[a,b]\to[a,b]\) 是否必有 \(g(c)=c\)？若有，迭代 \(x_{n+1}=g(x_n)\) 是否必然找到它？

探索与猜想¶

把不动点方程改写为 \(h(x)=g(x)-x=0\)。自映射控制端点符号，但没有控制迭代轨道 相邻两步的距离。

概念与理论¶

定理：闭区间连续自映射存在不动点¶

若 \(g:[a,b]\to[a,b]\) 连续，则存在 \(c\in[a,b]\) 使 \(g(c)=c\)。

证明。 令 \(h(x)=g(x)-x\)，则 \(h\) 连续。由自映射条件， [ h(a)=g(a)-a\ge0,\qquad h(b)=g(b)-b\le0. ] 零点定理给出 \(h(c)=0\)，即 \(g(c)=c\)。\(\square\)

这只是一份存在证书。第二部的压缩映射定理在额外条件 [ |g(x)-g(y)|\le q|x-y|,\quad 0\le q<1 ] 下，才同时给出唯一性、任意初值迭代收敛和几何误差界；本章直接引用，不重证。

命题：四种声称必须分开¶

“至少一个不动点”“不动点唯一”“指定迭代收敛”“拥有误差证书”依次增强，前一项 一般不推出后一项。判定每项必须指出相应假设。

例题与迁移¶

例题1：存在但不唯一¶

\(g(x)=x^2\) 把 \([0,1]\) 映入自身，连续，且 \(0,1\) 都是不动点。

例题2：唯一但迭代振荡¶

\(g(x)=1-x\) 在 \([0,1]\) 有唯一不动点 \(1/2\)，但若 \(x_0\ne1/2\)，则 [ x_1=1-x_0,\qquad x_2=x_0, ] 轨道形成二周期而不收敛。唯一性仍不足以保证简单迭代。

即时检验与回望¶

检验1：存在证明为何不用迭代？¶

检验2：压缩条件额外给什么？¶

习题与答案¶

习题1¶

证明 \(g(x)=1/(2+x)\) 在 \([0,1]\) 至少有不动点。

习题2¶

\(g(x)=x\) 的不动点有多少？

习题3¶

\(g(x)=1-x\) 何时迭代收敛？

习题4¶

连续但不把区间映入自身时定理能否使用？

习题5¶

有限迭代轨迹看似稳定能否当作证明？

常见误区与后续¶

不动点存在、唯一、迭代收敛和误差证书是四份不同合同。下一单元研究二分法怎样把 异号区间变成可核验误差证书。