连续性怎样经过运算和复合传递？¶

先备知识¶

你需要会把连续性改写为 \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)，并能使用第 9 章已证明的和、积、商与复合极限法则。所有函数都相对于明确的定义域讨论；组成新表达式时，应先取各定义域的交，并检查分母和复合中间值。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

证明有限次和、差、积与常数倍保持连续；
说明商连续为什么需要分母点值非零；
完整证明复合连续性并核验定义域；
判断一个公式能否由已证闭包规则推出连续。

牵引问题¶

多项式为什么处处连续，而 \(1/(x-2)\) 只能在 \(x\ne2\) 处谈连续？答案不能只是 “这些公式熟悉”。我们需要把函数的构造过程拆成已知连续的基本块，并逐步传递 “极限值等于点值”。

探索与猜想¶

若 \(f,g\) 在 \(a\) 连续，则 [ \lim_{x\to a}f(x)=f(a),\qquad \lim_{x\to a}g(x)=g(a). ] 把这两个等式代入极限运算法则，便会得到新函数的极限。但这条路线有两道门：所有表达式必须在 \(a\) 附近有定义；商还必须保证分母不会在任意近处变成零。

概念与理论¶

定理：连续函数的有限四则运算¶

设 \(f:D_f\to\mathbb R\)、\(g:D_g\to\mathbb R\)， \(a\in D_f\cap D_g\)，且二者都在 \(a\) 连续。则：

对任意 \(c\in\mathbb R\)，\(cf\) 在 \(a\) 连续；
\(f+g\)、\(f-g\)、\(fg\) 在 \(a\) 连续；
若 \(g(a)\ne0\)，则存在 \(a\) 的一个相对邻域使 \(g(x)\ne0\)，并且 \(f/g\) 在 \(a\) 连续。

证明。 连续性给出 [ f(x)\to f(a),\qquad g(x)\to g(a). ] 由有限极限的常数倍、和、差、积法则， [ \begin{aligned} cf(x)&\to cf(a),\ f(x)\pm g(x)&\to f(a)\pm g(a),\ f(x)g(x)&\to f(a)g(a). \end{aligned} ] 每个右端正是新函数在 \(a\) 的点值，所以相应函数连续。

若 \(g(a)\ne0\)，由 \(g(x)\to g(a)\)，对误差 \(|g(a)|/2\) 存在 \(\delta_0>0\)，使充分靠近 \(a\) 时 [ |g(x)|\ge |g(a)|-|g(x)-g(a)|>\frac{|g(a)|}{2}>0. ] 因此商在这个相对邻域内有定义。再由商极限法则， [ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f(a)}{g(a)}, ] 等于商函数在 \(a\) 的点值，故 \(f/g\) 在 \(a\) 连续。\(\square\)

定理只承诺有限次运算。无限叠加需要新的收敛控制，不能由数学归纳法直接跨越。

定理：复合函数的连续性¶

设 \(g:D\to E\)、\(f:E\to\mathbb R\)，其中 \(D,E\subseteq\mathbb R\)。若 \(g\) 在 \(a\in D\) 连续，且 \(f\) 在 \(b=g(a)\in E\) 连续，则 \(f\circ g:D\to\mathbb R\) 在 \(a\) 连续。

证明中的 \(\eta\) 是外层函数要求的输入精度，\(\delta\) 是内层函数为达到该精度提供的原始输入范围。若不能保证 \(g(x)\in E\)，外层函数值可能没有定义。

推论：有限表达式的连续性¶

从一组在相应点连续的函数出发，经过有限次四则运算和定义域相容的有限次复合得到的表达式，在所有分母非零且每层复合有定义的点连续。

证明。 每进行一次运算，应用上一条四则定理或复合定理；有限步后结论成立。每一步都保留其定义域限制，因此结论只在最终表达式的自然定义域上成立。\(\square\)

例题与迁移¶

例题 1：从基本块得到多项式¶

已知恒等函数 \(i(x)=x\) 与常数函数连续。证明 [ p(x)=2x^3-5x+4 ] 在 \(\mathbb R\) 上连续。

证明。 \(x^2=i\cdot i\)、\(x^3=x^2\cdot i\) 都由有限次乘法得到，故连续； \(2x^3\)、\(-5x\) 由常数倍得到，最后有限次相加得到 \(p\)。所有基本函数定义域都是 \(\mathbb R\)，过程中没有分母或额外域限制，所以 \(p\) 处处连续。\(\square\)

例题 2：分母条件与自然定义域¶

判断 [ r(x)=\frac{x^2+1}{x-2} ] 在哪些点连续。

解。分子与分母都是多项式，故处处连续。对任意 \(a\ne2\)，分母点值 \(a-2\ne0\)，商定理推出 \(r\) 在 \(a\) 连续。因此 \(r\) 在自然定义域 \(\mathbb R\setminus\{2\}\) 上连续。点 \(2\) 不在定义域，不能称为 \(r\) 的连续点。

即时检验与回望¶

即时检验 1：商定理为什么检查 \(g(a)\)？¶

答案

条件 \(g(a)\ne0\) 与 \(g\) 的连续性共同推出分母在某个邻域内远离零，从而商在邻域中有定义，并可应用商极限法则。只知道远处某些点的分母不为零不够。

即时检验 2：复合证明中映射 \(g:D\to E\) 有什么作用？¶

答案

外层连续性的误差条件只对 \(y\in E\) 有效。映射条件保证每个允许的内层值 \(g(x)\) 都落入 \(E\)，所以 \(f(g(x))\) 有定义并能代入外层估计。

习题与答案¶

习题 1：绝对值复合¶

已知绝对值函数在 \(\mathbb R\) 上连续。证明若 \(f\) 在 \(a\) 连续，则 \(|f|\) 在 \(a\) 连续。

答案

令外层函数 \(h(y)=|y|\)。由已知，\(h\) 在 \(f(a)\) 连续；内层 \(f\) 在 \(a\) 连续，且 \(f\) 的值落入 \(\mathbb R\)。复合定理给出 \(h\circ f=|f|\) 在 \(a\) 连续。

习题 2：可约分不等于原函数有定义¶

讨论 \(q(x)=(x^2-1)/(x-1)\) 的连续点。

答案

原公式的自然定义域是 \(\mathbb R\setminus\{1\}\)。在每个 \(a\ne1\) 处，分子、分母连续且分母点值非零，所以 \(q\) 连续。尽管 \(x\ne1\) 时可约为 \(x+1\)，原函数在 \(1\) 没有点值，因此不能说它在 \(1\) 连续；必须先定义 \(q(1)=2\) 才能得到连续延拓。

习题 3：根式复合的定义域¶

已知平方根函数在 \([0,\infty)\) 上连续。说明 [ h(x)=\sqrt{1-x^2} ] 在 \([-1,1]\) 上连续。

答案

内层 \(g(x)=1-x^2\) 是多项式，处处连续；对 \(x\in[-1,1]\)，有 \(g(x)\in[0,1]\subset[0,\infty)\)，满足外层定义域条件。平方根在每个 \(g(x)\) 连续，故复合函数在 \([-1,1]\) 每一点连续。

习题 4：分母在点上非零¶

设 \(g\) 在 \(a\) 连续且 \(g(a)=3\)。证明存在 \(\delta>0\)，使定义域中满足 \(|x-a|<\delta\) 的点都有 \(|g(x)|>2\)。

答案

在连续性定义中取 \(\varepsilon=1\)，得到 \(\delta>0\)，使 \(|g(x)-3|<1\)。于是 [ |g(x)|\ge3-|g(x)-3|>2. ] 这也证明分母在该邻域内不为零。

习题 5：有限与无限构造¶

为什么本单元的定理不能直接证明一串无限和 \(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\) 连续？

答案

定理每次只处理两个已知连续函数。数学归纳法能证明任意固定的有限部分和连续，但无限和是这些部分和的极限。连续性是否能穿过这个新的极限，需要控制收敛对 \(x\) 的一致程度；本单元没有提供这种条件，所以不能直接推出。

常见误区与后续¶

“代入点值”是已证极限法则的结果，不是替代证明的口号。
商函数的连续域由原公式决定，不能靠约分偷偷补上缺失点。
复合连续性必须检查内层值落入外层定义域。
有限闭包规则不能自动推广到无限运算。

下一单元把相对定义域的思想用于区间端点，并研究什么时候能给缺失点补值形成连续延拓。