Weierstrass、Dirichlet 与 Abel 型判据怎样控制参数族？¶

先备知识¶

熟悉函数项级数的三类判据、分部积分与一致 Cauchy 判据。

学习目标¶

能逐项核查三类判据的不同假设，并由统一尾界推出一致收敛。

牵引问题¶

绝对衰减、振荡抵消与单调因子分别怎样压小尾积分？

探索与猜想¶

三类判据的共同终点是统一尾项，小尾项的来源却不同。

概念与理论¶

Weierstrass 型判据¶

若对所有参数有 \(|f(x,t)|\le g(x)\)，且 \(\int_a^\infty g(x)dx\) 收敛，则

给出一致收敛。

Dirichlet 型判据¶

若 \(G(X,t)=\int_a^Xg(x,t)dx\) 对 \(X,t\) 一致有界，而 \(h(x,t)\) 关于 \(x\) 单调趋于 \(0\)，且趋零对参数一致，则分部积分给出统一尾界，故 \(\int gh\) 一致收敛。

Abel 型判据¶

若 \(\int_a^Xg(x,t)dx\) 关于 \(X\to\infty\) 一致收敛，且 \(h(x,t)\) 关于 \(x\) 单调并对所有 \(x,t\) 一致有界，则分部积分把乘积尾项控制为 \(g\) 的统一 Cauchy 尾项。

条件对照¶

Weierstrass 使用可积优函数；Dirichlet 使用有界原函数与一致趋零单调因子；Abel 使用已一致收敛的积分与一致有界单调因子。不可混写假设。

例题与迁移¶

例 1：指数优函数¶

若 \(|f(x,t)|\le e^{-x}\)，则尾项不超过 \(e^{-A}\)。

例 2：振荡核¶

\(\int_1^\infty\sin(tx)/x\,dx\) 的一致性取决于参数集是否远离 \(t=0\)；必须核查原函数界能否统一。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

哪一判据要求可积优函数？

即时检验 2¶

“单调”是关于哪个变量？

常见误区与后续¶

• 逐参数有界不等于对参数一致有界。
• 分部积分前要确认截断区间上的正则性。

习题与答案¶

习题 1¶

优函数可依赖参数吗？

习题 2¶

Weierstrass 尾界是什么？

习题 3¶

Dirichlet 的原函数需怎样有界？

习题 4¶

Dirichlet 因子需怎样趋零？

习题 5¶

Abel 的哪个积分已知一致收敛？

习题 6¶

Abel 因子需要趋零吗？

习题 7¶

三类判据的共同终点是什么？

习题 8¶

振荡可替代绝对收敛吗？

习题 9¶

参数靠近零为何危险？

习题 10¶

核查判据时应避免什么？