改变求和次序为什么可能改变结果？¶

先备知识¶

需要绝对收敛、条件收敛、正负部和有限集合。关键区别是：有限交换总安全，无穷重排 需要证明新部分和仍控制了原尾部。

学习目标¶

1. 用自然数上的双射定义重排；
2. 证明绝对收敛级数重排不变；
3. 证明条件收敛时正负总量各自无限；
4. 完成 Riemann 重排的越过目标—回拉—超调趋于零论证。

牵引问题¶

有限加法可任意交换次序。为何无穷级数不能照搬？决定安全性的究竟是交换动作，还是 被移动到很远处的尾项总量？

探索与猜想¶

若绝对尾部很小，新部分和只要收齐有限头部，余下怎样挑选都小。条件收敛没有这种 保护，正项总量和负项总量都无限，可交替抽取它们操纵部分和。

概念与理论¶

重排¶

设 \(\pi:\mathbb N\to\mathbb N\) 是双射，则 \(\sum a_{\pi(n)}\) 称为 \(\sum a_n\) 的一个重排。双射保证每项恰好出现一次，既不遗漏也不重复。

绝对收敛级数重排不变¶

定理。 若 \(\sum a_n=S\) 绝对收敛，则任意重排都绝对收敛且和仍为 \(S\)。

证明。 给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(N\) 使 \(\sum_{n>N}|a_n|<\varepsilon\)。因 \(\pi\) 为双射，存在 \(M\)，使前 \(M\) 个 重排项已包含 \(a_1,\ldots,a_N\)。当 \(m\ge M\)，重排部分和与某个包含完整有限头部 的原有限和之差只由指标 \(>N\) 的项组成，绝对值小于 \(\varepsilon\)。再让该原有限 和逼近 \(S\)，即得重排部分和趋于 \(S\)。同样方法用于 \(|a_n|\) 得绝对收敛。证毕。

条件收敛的正负总量¶

引理。 若 \(\sum a_n\) 条件收敛，则正项总量 \(\sum a_n^+=+\infty\)，负项总量 \(\sum a_n^-=+\infty\)。

证明。 若其中一方有限，由部分和之差收敛可推出另一方也有限，于是 \(\sum|a_n|=\sum(a_n^++a_n^-)\) 收敛，矛盾。正项部分和单调，故发散即趋正无穷。 证毕。

Riemann 重排定理¶

定理。 条件收敛实级数可重排为任意给定实数 \(L\)。

证明。 按原次序分别列出全部正项 \(p_j\) 和负项 \(-q_j\)，其中 \(p_j,q_j>0\)。 先连续取尚未使用的正项，直到部分和第一次越过目标 \(L\)；再连续取负项，直到第一次 落到 \(L\) 以下；重复此过程。正项总量与负项总量都无限，故每次越过目标都能完成， 而每项最终都会被取到，所以所得指标次序是双射。

现在回拉误差。每次从下方越过 \(L\) 的超调不超过最后加入的正项；每次从上方回拉到 下方的超调不超过最后加入的负项绝对值。原级数收敛蕴含 \(a_n\to0\)，故 \(p_j,q_j\to0\)。于是上下超调趋于零，夹住其间所有部分和，重排和为 \(L\)。证毕。

类似地，一直取正项越过逐渐升高的门槛、再插入少量负项，可构造趋于 \(+\infty\) 的重排；也可构造趋于 \(-\infty\) 或振荡发散的重排。这些是有限目标证明后的扩展。

例题与迁移¶

例 1：安全的重排¶

\(\sum(-1)^n/2^n\) 绝对收敛，因此把所有奇数指标项与偶数指标项交错成任何双射次序， 和均不变。

例 2：改变交错调和级数的和¶

交错调和级数条件收敛。按“取正项直到超过 \(1\)，取负项直到低于 \(1\)”反复执行， 所得重排收敛到 \(1\)，无论原和是否为 \(1\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

一个映射若重复使用 \(a_1\)，是否构成重排？

即时检验 2¶

绝对收敛证明中为何先“收齐有限头部”？

习题与答案¶

习题 1¶

证明交换有限多个项不改变收敛级数的和。

习题 2¶

给出重排所需的映射条件。

习题 3¶

为什么绝对尾部控制不依赖尾项的选择顺序？

习题 4¶

条件收敛时能否只有有限多个正项？

习题 5¶

Riemann 构造为什么每次都能越过目标？

习题 6¶

为何最后加入的一项控制超调？

习题 7¶

超调为何趋于零？

习题 8¶

若级数绝对收敛，能否重排到另一个有限值？

习题 9¶

“先加所有正项再加所有负项”是否给出自然数双射顺序？

习题 10¶

有限目标构造中如何保证没有项永久遗漏？

常见误区与后续¶

• 重排不是任意挑项，必须由双射给出。
• 条件收敛的和依赖次序，有限交换却仍安全。
• 下一单元研究另一种形式运算：两个无穷和的乘积。