递推会不会真的“靠近”目标？¶

先备知识¶

第 3 章已经证明：每个正数 \(a\) 都有唯一正平方根 \(\sqrt a\)，并且可以比较正数的平方。本单元把这个已经存在的目标放在递推过程旁边，研究每一步是否仍在目标上方、是否朝着它下降。高等代数只用分式的正性、平方差分解和不等式；不需要解析几何。Python 活动只要求会给变量赋值、定义一个函数并用 for 循环重复有限次。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

1. 写出 Babylonian 递推的初始条件与更新公式；
2. 用归纳法证明迭代项为正且始终严格大于 \(\sqrt a\)；
3. 用平方差证明迭代项单调下降；
4. 把有限步输出看成检查猜想的证据，而不把它误当作证明。

牵引问题¶

已知 \(a>0\) 时，第 3 章保证了 \(\sqrt a\) 存在。可是如果只会试算，怎样系统地给出越来越合理的候选值？古老的 Babylonian 方法从一个正猜测 \(x_1\) 出发，每一步都把当前值 \(x_n\) 同它的配对数 \(a/x_n\) 平均。平均之后的数会不会跑到 \(\sqrt a\) 下方？会不会忽上忽下？在尚未建立数列极限定义时，我们能先证明哪些每一步都可检查的性质？

探索与猜想¶

取 \(a=2\)、\(x_1=2\)。第一步给出

再算一步得到 \(x_3=17/12\)。这些数都大于 \(\sqrt2\)，并且似乎不断下降。这里有两个待证明的猜想：

1. 从 \(x_1>\sqrt a\) 开始，是否每个 \(x_n\) 仍有 \(x_n>\sqrt a\)？
2. 一旦 \(x_n\) 位于目标上方，下一项是否不大于当前项？

若两点都成立，递推至少不会失控：它始终被 \(\sqrt a\) 从下方挡住，又不向上反弹。至于它是否有一个极限、极限如何定义，留待下一部建立数列语言后再处理。

概念与理论¶

Babylonian 递推¶

设 \(a>0\)，选择初值 \(x_1>\sqrt a\)，并对 \(n=1,2,\ldots\) 定义

这是一条递推关系：第 \(n+1\) 项由第 \(n\) 项计算。式中的除法要求 \(x_n\ne0\)，所以正性不是装饰，而是递推能继续执行的条件。

上方正性与单调性的不变量¶

命题。 若 \(a>0\) 且 \(x_1>\sqrt a\)，则对每个 \(n\in\mathbb N\)，都有

证明。 先证上方正性。初始条件已经给出 \(x_1>\sqrt a>0\)。若 \(x_n>\sqrt a\)，则 \(x_n>0\)，并且

故 \(x_{n+1}>\sqrt a>0\)。由数学归纳法，每一项都为正且位于 \(\sqrt a\) 上方；特别地，所有后续除法都有意义。

再由 \(x_n>\sqrt a\) 得 \(x_n^2>a\)，从而当然也有 \(x_n^2\ge a\)。直接相减：

分母为正、分子为负，因此 \(x_{n+1}<x_n\)。若只需要非严格的版本，\(x_n^2\ge a\) 给出 \(x_{n+1}\le x_n\)；本题的严格初值使不等式严格。\(\square\)

这份证明还给出一个已经可用的有界性结论：对每个 \(n\)，都有

左侧来自上方正性（事实上此处严格大于），右侧来自从 \(x_1\) 开始的单调下降。因此递推项被两个固定数夹住。这份证明提供的是有限步骤不变量：对任意给定的 \(n\)，第 \(n\) 步都保持上方正性、下降且有界；它尚未把“无限多步之后”的对象当作已定义的极限。

例题与迁移¶

例：从 \(2\) 出发逼近 \(\sqrt2\)¶

对 \(a=2\)、\(x_1=2\)，递推为

因为 \(2>\sqrt2\)，上面的命题适用。前几项为

它们依次下降，且都大于 \(\sqrt2\)。为量化“上方”，可利用平方差：当 \(x_n>\sqrt a\) 时，

这个恒等式告诉我们，检查残差 \(x_n^2-a\) 能帮助判断候选值离目标有多远；但在本章，我们只把它作为有限步比较工具，不预先赋予它极限理论的含义。

算法活动：输出有限步表格¶

下面的代码只输出有限步结果，刻意不在书中执行。读者可在本地运行，并将输出与上述不变量逐行比对。

def babylonian_table(a: float, x: float, steps: int) -> list[tuple[int, float, float]]:
    rows = []
    for n in range(1, steps + 1):
        rows.append((n, x, x * x - a))
        x = 0.5 * (x + a / x)
    return rows

for n, x, residual in babylonian_table(2.0, 2.0, 6):
    print(n, f"{x:.12f}", f"{residual:.3e}")

运行后可检查三件事：表中的 \(x\) 是否为正；后一行是否小于前一行；残差 \(x^2-2\) 是否仍为正。程序的浮点数输出可能有舍入误差，因而它只能帮助发现错误或支持猜想；真正保证“在 \(\sqrt2\) 上方且下降”的是前面的代数证明。

即时检验与回望¶

1. 为什么初值条件 \(x_1>\sqrt a\) 自动保证递推式第一步中的除法有意义？

1. 在上方正性证明中，为什么 \(((x_n-\sqrt a)^2)/(2x_n)\) 为正？

1. 仅看到程序输出的六行数字下降，为什么还不能证明每一项都会下降？

回看牵引问题：递推并不是“不断按键”的同义词。初值、更新式和不变量共同把有限步骤组织成可证明的过程。下一单元将研究如何用一对端点持续夹住目标，并用区间长度给出更直接的有限误差证书。

习题与答案¶

ex-u-01-04-01-01¶

设 \(a=9\)、\(x_1=4\)。写出 \(x_2,x_3\)，并说明它们是否大于 \(3\)。

ex-u-01-04-01-02¶

设 \(x>\sqrt a\)。证明 \(T(x)=\frac12(x+a/x)\) 仍严格大于 \(\sqrt a\)。

ex-u-01-04-01-03¶

设 \(x>\sqrt a\)。证明 \(T(x)<x\)，并指出所用的严格不等式来自哪里。

ex-u-01-04-01-04¶

完整解答。 设 \(a>0\)、\(x_1>\sqrt a\)，并由 Babylonian 递推定义 \(x_{n+1}\)。用数学归纳法证明：每个 \(x_n\) 都满足 \(x_n>\sqrt a\)，且对每个 \(n\) 有 \(x_{n+1}<x_n\)。说明这份结论为什么还不是数列极限定理。