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反常积分怎样由逐端点极限定义？

先备知识

第 19 章的 Riemann 积分要求被积函数在有界闭区间上有界。本单元不修改这个定义： 遇到无穷区间或无界函数时，先在远离问题端点的闭区间上做正常积分，再让截断端点趋近 真正边界。

因此基本前提是：\(f\) 在每个远离反常端点的闭区间上局部 Riemann 可积。反常积分 是这些正常积分的极限，而不是一个新的“无穷 Riemann 和”。

学习目标

完成本单元后，你应能：

  1. 定义无穷区间和有限奇点处的反常积分；
  2. 对多个反常端点逐端点拆分；
  3. 证明并使用 Cauchy 尾部判据；
  4. 判定无穷远与零点附近的两类 \(p\)-积分；
  5. 证明切分点无关；
  6. 区分通常反常积分与对称主值。

牵引问题

表达式

\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx \]

不能直接把“\(\infty\)”代入原函数。它真正表示哪一个实数极限？若区间两端都是无穷， 能否只让两个端点以相同速度远离原点？

探索与猜想

令

\[ F(R)=\int_1^R f(x)\,dx. \]

若 \(F(R)\) 在 \(R\to\infty\) 时趋于有限实数，就可以把该极限定义为总积分。更局部地 看，收敛意味着充分靠后的任意尾段

\[ \int_A^B f(x)\,dx \]

都应很小。后一个说法不预先知道极限值，因而更适合判定和估计。

概念与理论

无穷区间上的反常积分

定义。 设 \(f\) 在每个 \([a,R]\) 上 Riemann 可积。若有限极限

\[ \lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx=I \]

存在，就称 \(\int_a^\infty f(x)\,dx\) 收敛，并定义其值为 \(I\)；否则称其发散。 同理，

\[ \int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx :=\lim_{L\to-\infty}\int_L^b f(x)\,dx. \]

这里“收敛”要求极限是有限实数。趋于 \(+\infty\) 或 \(-\infty\) 仍记为发散，只是 可以进一步描述发散方向。

有限奇点处的反常积分

设 \(f\) 在每个 \([a,t]\subset[a,b)\) 上可积，但在 \(b\) 附近可能无界。定义

\[ \int_a^b f(x)\,dx :=\lim_{t\to b^-}\int_a^t f(x)\,dx, \]

前提仍是右侧有限极限存在。左端点奇性使用 \(t\to a^+\)。

若内部点 \(c\in(a,b)\) 是奇点，则必须分别要求

\[ \int_a^c f(x)\,dx,\qquad \int_c^b f(x)\,dx \]

收敛，再把二者相加。把一个截断参数同时跨过内部奇点，会掩盖两侧各自的行为。

多个反常端点必须逐端点处理

对整条实线，固定任意 \(c\in\mathbb R\)，定义

\[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{c}f(x)\,dx+ \int_c^\infty f(x)\,dx, \]

但右侧两项必须分别收敛。

若换用另一个切分点 \(d>c\)，正常积分的区间可加性给出

\[ \int_{-\infty}^{d}f =\int_{-\infty}^{c}f+\int_c^d f, \qquad \int_d^\infty f =\int_c^\infty f-\int_c^d f. \]

两式相加时有限段恰好抵消，所以在两侧都收敛的前提下，定义与切分点无关。注意： 切分点无关是收敛之后的结论，不能用来绕过逐端点检验。

Cauchy 尾部判据

定理。 设 \(f\) 在每个 \([a,R]\) 上 Riemann 可积。则 \(\int_a^\infty f(x)\,dx\) 收敛，当且仅当对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(A\ge a\)，使得任意 \(B>C\ge A\) 都满足

\[ \left|\int_C^B f(x)\,dx\right|<\varepsilon. \]

证明。 记 \(F(R)=\int_a^R f\)。

若 \(F(R)\to I\)，取 \(A\) 使 \(R\ge A\) 时 \(|F(R)-I|<\varepsilon/2\)。于是

\[ \left|\int_C^B f\right| =|F(B)-F(C)| \le |F(B)-I|+|F(C)-I| <\varepsilon. \]

反过来，尾部条件说明当 \(B,C\ge A\) 时 \(|F(B)-F(C)|<\varepsilon\)。特别地， 对任意趋于无穷的数列 \(R_n\)，实数列 \(F(R_n)\) 都满足 Cauchy 条件，因实数完备而 收敛。再固定其中一个充分大的 \(R_n\)，尾部条件控制任意 \(R\ge A\) 与 \(R_n\) 之间的差，说明所有实数截断 \(F(R)\) 趋于同一个极限。因此反常积分收敛。证毕。

有限奇点版本只需把“\(B>C\ge A\)”改成两个截断点都充分靠近奇点，证明完全使用同一 Cauchy 思想。

两类 \(p\)-积分

若 \(p\ne1\)，则

\[ \int_1^R x^{-p}\,dx=\frac{R^{1-p}-1}{1-p}. \]

当 \(p>1\) 时 \(R^{1-p}\to0\)，故

\[ \int_1^\infty x^{-p}\,dx=\frac{1}{p-1}. \]

当 \(p<1\) 时 \(R^{1-p}\to\infty\)；当 \(p=1\) 时积分为 \(\log R\)。所以

\[ \int_1^\infty x^{-p}\,dx \quad\text{收敛当且仅当}\quad p>1. \]

零点附近则有

\[ \int_t^1 x^{-p}\,dx=\frac{1-t^{1-p}}{1-p}\qquad(p\ne1). \]

此时阈值反向：

\[ \int_0^1 x^{-p}\,dx \quad\text{收敛当且仅当}\quad p<1. \]

“无穷远要求衰减足够快，零点附近要求爆炸不太快”是记忆结果；真正判定仍来自两个 不同的端点极限。

例题与迁移

例 1：两个无穷端点

判定

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx. \]

在切分点 \(0\) 两侧分别有

\[ \int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2} =\lim_{R\to\infty}\arctan R=\frac{\pi}{2}, \]

左侧同样为 \(\pi/2\)。因此通常反常积分收敛且等于 \(\pi\)。这里只因两侧各自收敛， 才可以相加。

例 2：内部奇点不能跨过

考察 \(\int_{-1}^{1}x^{-2}\,dx\)。对 \(0<t<1\)，

\[ \int_t^1x^{-2}\,dx=\frac1t-1\to\infty. \]

右半段已经发散，因此整个积分发散。虽然对称表达式看起来相同，但不存在允许“左右 抵消”的负贡献。

对称主值边界

对 \(f(x)=\sin x\)，每个对称截断都满足

\[ \int_{-R}^{R}\sin x\,dx=0. \]

然而

\[ \int_0^R\sin x\,dx=1-\cos R \]

没有极限。故对称主值可以存在，而通常反常积分仍发散。逐端点定义拒绝把截断路径 制造的抵消当作收敛。

即时检验与回望

即时检验 1

\(\int_2^\infty x^{-3}\,dx\) 的值是多少？

答案
\[ \int_2^R x^{-3}\,dx =\left[-\frac{1}{2x^2}\right]_2^R =\frac18-\frac{1}{2R^2}\to\frac18. \]

即时检验 2

\(\int_0^1x^{-3/4}\,dx\) 是否收敛？

答案

收敛，因为有限端点 \(p\)-积分的指数 \(3/4<1\)。直接计算得

\[ \lim_{t\to0^+}\int_t^1x^{-3/4}\,dx =\lim_{t\to0^+}4(1-t^{1/4})=4. \]

回望：定义先决定该取哪个极限；原函数计算只负责求这些正常积分的极限。

习题与答案

练习 1：无穷远阈值

判定 \(\int_3^\infty x^{-1/2}\,dx\) 的敛散性，并写出发散方向。

答案
\[ \int_3^R x^{-1/2}\,dx=2(\sqrt R-\sqrt3)\to+\infty. \]

因而积分发散到 \(+\infty\)。

练习 2：有限端点阈值

判定 \(\int_0^4x^{-5/4}\,dx\)。

答案

在 \(0\) 处反常，且指数 \(5/4\ge1\)。更直接地，

\[ \int_t^4x^{-5/4}\,dx=4t^{-1/4}-2\sqrt2\to+\infty, \]

所以发散。

练习 3：内部奇点

为什么 \(\int_{-1}^{1}x^{-1}\,dx\) 不能依据奇性直接写成零？

答案

\(0\) 是内部奇点，必须分别检查：

\[ \int_{-1}^{0}\frac{dx}{x},\qquad \int_0^1\frac{dx}{x}. \]

两项分别发散到 \(-\infty\) 与 \(+\infty\)，所以通常反常积分发散。对称截断为零 只描述主值。

练习 4：切分点变换

已知 \(\int_{-\infty}^{0}f\) 与 \(\int_0^\infty f\) 都收敛。证明改在 \(c>0\) 切分时总值不变。

答案

区间可加性给出

\[ \int_{-\infty}^{c}f=\int_{-\infty}^{0}f+\int_0^cf,\qquad \int_c^\infty f=\int_0^\infty f-\int_0^cf. \]

相加后有限段抵消，得到原总值。

练习 5：Cauchy 尾部

设 \(f(x)=e^{-x}\)。给定 \(\varepsilon>0\)，找出一个 \(A\)，使任意 \(B>C\ge A\) 都有 \(\left|\int_C^Bf\right|<\varepsilon\)。

答案
\[ 0<\int_C^Be^{-x}\,dx=e^{-C}-e^{-B}<e^{-C}\le e^{-A}. \]

取 \(A>\max\{0,\log(1/\varepsilon)\}\) 即可。

练习 6：错误诊断

某解答写道：“\(\int_{-\infty}^{\infty}x\,dx=0\)，因为 \(\int_{-R}^{R}x\,dx=0\)。”指出首个非法步骤。

答案

首个非法步骤是用同一个 \(R\) 的对称路径代替逐端点极限。右侧 \(\int_0^\infty x\,dx\) 发散到 \(+\infty\)，左侧发散到 \(-\infty\)，所以通常反常积分不存在；对称值零不能修复两侧发散。

常见误区与后续

  • 把 \(\infty\) 当作可代入原函数的数，而不是极限符号；
  • 一个内部奇点只取一个“跨越式”极限；
  • 看到对称就省略左右尾部的独立检验；
  • 把趋于无穷也称作“积分收敛”；
  • 只检查某一条截断数列，而没有控制所有充分大的截断点。

下一单元对最终非负函数建立比较判别，并把比较不等式保留成尾部误差界。更一般的 无穷求和、函数列交换和测度积分属于后续部分。