运算、上确界与逐点极限怎样保持可测性？¶

先备知识¶

熟悉水平集判据、连续复合和上/下极限。

学习目标¶

建立可测函数在常用运算和逐点极限下的封闭性。

牵引问题¶

序章函数列的逐点极限虽然不 Riemann 可积，它至少仍可测吗？

探索与猜想¶

把函数运算写成连续映射，把极限写成可数上下确界。

概念与理论¶

障碍¶

逐点极限没有一致误差，不能借用连续函数的一致极限定理。

证明路线¶

先证明可数上确界、下确界可测，再用 \(\limsup\) 和 \(\liminf\)。

逐步证明¶

若 (f_n) 可测，则 \(\{\sup_nf_n>a\}=\bigcup_n\{f_n>a\}\)，所以可数上确界可测；下确界由取负或 \(\{\inf_nf_n<a\}=\bigcup_n\{f_n<a\}\) 得到。于是

\[ \limsup f_n=\inf_N\sup_{n\ge N}f_n,qquad \liminf f_n=\sup_N\inf_{n\ge N}f_n \]

都可测；若逐点极限存在，两者相等，故逐点极限可测。有限实值可测函数的和、积、最大、最小由 \((f,g)\) 与连续映射复合得到；商还需分母非零。扩展实值运算必须排除 \(+\infty-\infty\) 等未定义情形。

假设用在何处¶

σ-代数可数封闭处理函数列；连续复合保持开集逆像可测。

失败边界¶

“逐点极限可测”不说明积分可交换，也不说明极限有限。

例题与迁移¶

例 1：序章函数列¶

每个有限集指示函数可测，逐点极限 \(\mathbf1_{\mathbb Q\cap[0,1]}\) 也可测。

例 2：上包络¶

可数族连续函数的上确界可测，虽然未必连续。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(\{\sup f_n>a\}\) 为什么是并集？

答案

上确界超过 (a) 当且仅当至少一项超过 (a)。

即时检验 2¶

逐点极限可测是否保证 DCT 可用？

答案

不保证；本章尚未定义积分，也没有控制函数条件。

常见误区与后续¶

可测性只保证对象仍在允许集合世界中，不提供大小控制。
扩展实值代数运算要排除未定义组合。

习题与答案¶

习题 1¶

证明 \(\sup_n f_n\) 可测。

答案

用 \(\{\sup_nf_n>a\}=\bigcup_n\{f_n>a\}\)。

习题 2¶

证明 \(\inf_n f_n\) 可测。

答案

用 \(\inf f_n=-\sup(-f_n)\)。

习题 3¶

写出函数列上极限。

答案

\(\inf_N\sup_{n\ge N}f_n\)。

习题 4¶

逐点极限为何可测？

答案

存在时等于可测的上极限和下极限。

习题 5¶

和是否保持可测？

答案

对有限实值可测函数保持。

习题 6¶

商需要什么额外条件？

答案

分母非零。

习题 7¶

最大值如何表达？

答案

\(\max(f,g)=(f+g+|f-g|)/2\)。

习题 8¶

可数上确界一定有限吗？

答案

不一定，可以为 (+\infty)。

习题 9¶

可测极限一定连续吗？

答案

不一定。

习题 10¶

指出一个禁止的扩展实值运算。

答案

(+\infty-\infty)。