控制收敛定理为何需要可积控制函数？¶

先备知识¶

掌握 Fatou、绝对可积和积分绝对值估计。

学习目标¶

证明可积控制下的极限交换，并识别每条假设的职责。

牵引问题¶

逐点收敛为何不足以保证积分收敛，怎样阻止质量逃逸？

探索与猜想¶

一个固定可积函数 g 同时压住全部 |f_n|，便能把上下误差都交给 Fatou。

概念与理论¶

控制收敛定理¶

若 f_n→f 几乎处处，且存在可积 g 使 |f_n|≤g 几乎处处，则 f 可积且 \(\int f_n\to\int f\)，并且 \(\int|f_n-f|\to0\)。

证明¶

极限给出 |f|≤g，故 f 可积。对非负函数 \(g+f_n\) 与 \(g-f_n\) 分别应用 Fatou：

\[ \int g+\int f\le\int g+\liminf_n\int f_n, \qquad \int g-\int f\le\int g-\limsup_n\int f_n. \]

因 ∫g 有限可消去，得到 limsup∫f_n≤∫f≤liminf∫f_n，故积分收敛。再对 |f_n-f|≤2g 应用同一结论，得到 L¹ 型误差积分趋零（不在此发展空间理论）。

失败边界¶

若 f_n=n1_(0,1/n)，则逐点几乎处处趋零但积分恒为 1；不存在统一可积控制函数。

例题与迁移¶

例 1：参数极限¶

若 |f_n|≤g 且 g 可积，可在验证逐点极限后交换极限与积分。

例 2：逃逸尖峰¶

尖峰越来越高、支撑越来越窄，说明逐点图像不能追踪总质量。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么必须要求 ∫g 有限？

答案

证明要从两侧不等式消去 ∫g；无穷量不能这样相减。

即时检验 2¶

控制是否允许依赖 n？

答案

定理要求同一个 g 控制所有 n。

常见误区与后续¶

“每项可积”不等于存在统一可积控制。
数值图看不到窄尖峰时，不能据此宣称 DCT 条件成立。

习题与答案¶

习题 1¶

写出逐点条件。

答案

f_n→f 几乎处处。

习题 2¶

写出控制条件。

答案

存在可积 g，使所有 |f_n|≤g 几乎处处。

习题 3¶

为何 |f|≤g？

答案

在共同满测集上取极限。

习题 4¶

两次 Fatou 用于哪些函数？

答案

g+f_n 与 g-f_n。

习题 5¶

为何它们非负？

答案

因为 |f_n|≤g。

习题 6¶

何时能消去 ∫g？

答案

当 g 可积、积分有限时。

习题 7¶

尖峰反例的积分是多少？

答案

恒为 1。

习题 8¶

极限函数是什么？

答案

几乎处处为零。

习题 9¶

结论是否给出绝对误差积分收敛？

答案

是，\(\int|f_n-f|\to0\)。

习题 10¶

有限网格能认证控制吗？

答案

不能。