差商与偏导的一致控制怎样完成 Leibniz 公式证明？¶

先备知识¶

熟悉一元中值定理、一致连续和一致极限进入积分号。

学习目标¶

能从定义完整证明固定端点 Leibniz 公式，并识别失败边界。

牵引问题¶

逐点的中值定理怎样升级为对所有积分点同时有效的估计？

探索与猜想¶

中值点虽依赖 \(x\)，紧矩形上偏导的一致连续性却能统一控制它们。

概念与理论¶

交换对象¶

固定 \(t\in J\)，取足够小的非零 \(h\)，定义

积分函数的差商正是 \(\int_a^b q_h(x)\,dx\)。要交换的是 \(h\to0\) 的极限与 \(x\) 的积分。

定理条件¶

在包含 \(t\) 的小闭区间 \(K\subset J\) 上，\(\partial_t f\) 在紧矩形 \([a,b]\times K\) 连续，因而一致连续。

证明路线¶

对每个 \(x\)，中值定理给出位于 \(t\) 与 \(t+h\) 之间的 \(\xi_{x,h}\)，使

因此

这说明 \(q_h\) 对所有 \(x\in[a,b]\) 一致趋于 \(\partial_t f(\cdot,t)\)。由第 42 章的一致极限交换，

条件用在何处¶

固定端点把 \(F\) 的差商写成同一区间上的积分；一元中值定理连接差商与偏导；紧性和偏导连续性把逐点连接升级为一致控制；Riemann 积分的估计完成极限交换。

失败边界¶

若只有逐点 \(q_h(x)\to\partial_t f(x,t)\)，误差峰可能随 \(h\) 移动，积分未必跟随极限。此时不能把结论当作形式运算规则。

例题与迁移¶

例 1：误差估计¶

若 \(|\partial_{tt}f|\le M\)，中值估计给出 \(\sup_x|q_h(x)-\partial_t f(x,t)|\le M|h|\)。

例 2：证明审计¶

看到“逐点收敛，所以交换”时，应追问是否存在统一上界或一致收敛证明。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(\xi_{x,h}\) 可以与 \(x\) 无关吗？

即时检验 2¶

哪一步真正调用第 42 章？

常见误区与后续¶

• 中值定理只给逐点中值点；“对所有 \(x\)”的结论来自一致连续。
• 若研究更弱条件，需要新的积分工具；本章不扩展到该理论。

习题与答案¶

习题 1¶

写出 \(F\) 的差商积分式。

习题 2¶

中值定理对哪个变量使用？

习题 3¶

紧性在何处使用？

习题 4¶

为什么限制 \(h\) 足够小？

习题 5¶

一致误差怎样控制积分误差？

习题 6¶

逐点收敛足够吗？

习题 7¶

若 \(\partial_t f\) 为常数，差商误差是多少？

习题 8¶

证明结果属于哪一种导数？

习题 9¶

中值点依赖 \(h\) 是否妨碍证明？

习题 10¶

列出证明的四个桥梁。