Fourier 系数有哪些平移、伸缩与对称性质？¶

先备知识¶

掌握一般周期的 Fourier 系数公式。

学习目标¶

从积分定义推导平移、反射、奇偶与周期伸缩规则。

牵引问题¶

改变时间原点或周期后，是否必须重新做全部积分？

探索与猜想¶

平移会旋转同频率的正弦—余弦坐标，反射会改变正弦系数符号。

概念与理论¶

若 \(g(x)=f(x-x_0)\)，复系数满足 \(c_n(g)=e^{-in\omega x_0}c_n(f)\)； 若 \(g(x)=f(-x)\)，则 \(c_n(g)=c_{-n}(f)\)。实偶函数的全部 \(b_n=0\)， 实奇函数的 \(a_0,a_n=0\)。把标准变量 \(t=2\pi x/T\) 代入即可得到一般周期公式。

障碍¶

平移不是给系数统一乘一个实数，而是在每个频率平面内旋转。

证明路线¶

对系数积分换元，再利用完整周期积分与起点无关。

逐步证明¶

反射换元时积分方向与端点同时交换，得到 \(c_{-n}\)。

假设用在何处¶

完整周期保证换元后仍可取同长积分区间；实值性用于奇偶消项解释。

失败边界¶

只看到图形近似对称，不能据此把系数精确置零。

例题与迁移¶

例 1：余弦平移¶

\(\cos(x-\alpha)=\cos\alpha\cos x+\sin\alpha\sin x\)。

例 2：奇函数¶

\(f(x)=x\) 在 \((-\pi,\pi)\) 的周期延拓只有正弦系数。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

偶函数的哪个系数族消失？

即时检验 2¶

平移是否改变系数模长？

常见误区与后续¶

• 对称性必须相对于所选积分区间与周期延拓判断。
• 周期缩放后基频也必须缩放。

习题与答案¶

习题 1¶

求 \(\cos(x-\pi/2)\) 的实系数。

习题 2¶

奇函数的 \(a_0\) 是多少？

习题 3¶

反射怎样改变 \(b_n\)？

习题 4¶

周期 4 的基频是什么？

习题 5¶

平移怎样改变 \(c_n\)？

习题 6¶

偶函数的复系数有什么关系？

习题 7¶

奇实函数的复系数为何纯虚？

习题 8¶

半周期上的对称能直接消项吗？

习题 9¶

平移是否改变频率编号？

习题 10¶

为什么从定义推导比背公式可靠？