Borel 集、零测集及其子集怎样进入 Lebesgue 可测世界？¶

先备知识¶

熟悉区间外测度、零测集、可测 σ-代数和 Lebesgue 测度。

学习目标¶

区分 Borel 集与 Lebesgue 可测集，并理解完备性。

牵引问题¶

从开区间生成的集合世界，是否自动包含零测集的所有子集？

探索与猜想¶

开集由可数个区间组成而可测；零测集的任意子集也可测，这使 Lebesgue 世界更完备。

概念与理论¶

障碍¶

拓扑生成和测度完备是不同闭合要求。

证明路线¶

先证明区间可测，再生成 Borel σ-代数，最后用零测性证明完备。

逐步证明¶

对区间 (I) 和任意 (T)，分别覆盖 (T\cap I) 与 (T\setminus I)，利用区间端点的 有序性和第 46 章长度结论可得 Carathéodory 分裂，故区间可测。每个开集是至多可数个 两两不交开区间之并，所以开集可测。

由所有开集生成的 σ-代数称 Borel σ-代数 \(\mathcal B(\mathbb R)\)。由于 Lebesgue 可测集族是包含开集的 σ-代数，\(\mathcal B(\mathbb R)\subseteq\mathcal L\)。

若 (N\in\mathcal L) 且 (m(N)=0)，任意 (A\subseteq N) 由单调性满足 (m^*(A)=0)， 因而 (A\in\mathcal L)。所以 Lebesgue 测度是完备的：零测集的任意子集都可测。 Lebesgue σ-代数可理解为 Borel σ-代数加入所有 Borel 零测集子集后完成的集合世界。

假设用在何处¶

区间可测和 σ-代数封闭包含所有 Borel 集；外测度单调性保证零集子集仍为零。

失败边界¶

Borel 测度本身若只定义在 Borel 集上并不自动完备；Borel 与 Lebesgue 可测不能混称。

例题与迁移¶

例 1：闭集¶

闭集是开集补集，因此是 Borel 集，也 Lebesgue 可测。

例 2：Cantor 集¶

标准 Cantor 集闭且测度零；它不可数，说明“零测”远大于“可数”。它的每个子集都 Lebesgue 可测，但不必都是 Borel 集。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

Borel 集为何一定 Lebesgue 可测？

即时检验 2¶

完备性说的是什么？

常见误区与后续¶

• Borel 集都 Lebesgue 可测，反向并不成立。
• 完备性不是实数完备性，而是零测集子集的闭合性质。

习题与答案¶

习题 1¶

定义 Borel σ-代数。

习题 2¶

闭集为何是 Borel 集？

习题 3¶

可数集是 Borel 集吗？

习题 4¶

可数集的任意子集可测吗？

习题 5¶

Cantor 集为何可测？

习题 6¶

不可数集合能是零测集吗？

习题 7¶

Lebesgue 测度完备吗？

习题 8¶

Borel 集和 Lebesgue 可测集相同吗？

习题 9¶

零测集的任意子集测度是多少？

习题 10¶

本章最终得到什么对象？