隐式方程什么时候能局部解出变量？¶

先备知识¶

掌握反函数定理、分块 Jacobian、链式法则与线性方程组。

学习目标¶

1. 陈述隐函数定理；2. 由局部坐标变换推出它；3. 推导并解释隐函数导数公式。

牵引问题¶

方程 \(F(x,y)=0\) 未必能写出闭式解。怎样仅凭一个偏 Jacobian 的可逆性，保证附近 存在唯一的函数 \(y=\varphi(x)\)？

探索与猜想¶

把 \(x\) 保留下来，同时把 \(F\) 当作新坐标：

若关于 \(y\) 的导数块可逆，则 \(\Phi\) 的分块 Jacobian 可逆，反函数定理便能恢复 \((x,y)\)。

概念与理论¶

隐函数定理¶

设 \(F:U\subset\mathbb R^p\times\mathbb R^q\to\mathbb R^q\) 为 \(C^1\)， \(F(a,b)=0\)，且分块 Jacobian \(D_yF(a,b)\) 可逆。则存在 \(a,b\) 的邻域以及唯一 \(C^1\) 映射 \(\varphi\)，使

并且邻域内所有解恰由该图像给出。

从反函数定理推出¶

它是分块下三角矩阵，因 \(D_yF(a,b)\) 可逆而可逆。反函数定理给 \(\Phi\) 的局部 反函数。把第二个新坐标固定为零，就得到 \(y=\varphi(x)\)。因此本章先证明反函数定理， 再得到 隐函数定理，而不是反向循环依赖。

导数公式¶

对恒等式 \(F(x,\varphi(x))=0\) 使用链式法则：

尺寸为 \(q\times p\)，与 \(\varphi:\mathbb R^p\to\mathbb R^q\) 相符。

定理给的是隐函数局部存在与局部唯一，不承诺显式闭式表达，也不排除远处的解。

例题与迁移¶

例 1：圆的上支¶

\(F(x,y)=x^2+y^2-1\)。在 \((0,1)\) 处 \(F_y=2\ne0\)，故可局部写成 \(y=\varphi(x)\)，且 \(\varphi'(x)=-x/y\)。该局部分支是上半圆的一部分。

例 2：不能解出所选变量¶

在 \((1,0)\) 处 \(F_y=0\)，不能由本定理解出 \(y(x)\)；但 \(F_x=2\ne0\)，可局部 解出 \(x\) 为 \(y\) 的函数。失败可能来自变量块选择，而非曲线不存在。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么只要求 \(D_yF\) 可逆，而不要求完整 Jacobian 为方阵？

即时检验 2¶

定理得到 \(\varphi\) 后是否自动有初等闭式公式？

常见误区与后续¶

• 必须在已知解 \((a,b)\) 处检查 \(F(a,b)=0\)。
• 可逆的是准备解出的变量对应的分块 Jacobian。
• 局部唯一只排除所选邻域内的第二个图像分支。

习题与答案¶

习题 1¶

对 \(F(x,y)=x^2+y^2-1\)，在哪些点可局部解出 \(y(x)\)？

习题 2¶

在哪些点可局部解出 \(x(y)\)？

习题 3¶

若 \(F:\mathbb R^3\times\mathbb R^2\to\mathbb R^2\)，\(D\varphi\) 的尺寸是多少？

习题 4¶

推导标量方程的公式 \(y'=-F_x/F_y\)。

习题 5¶

为什么 \(\Phi(x,y)=(x,F(x,y))\) 的导数可逆？

习题 6¶

若 \(D_yF\) 奇异，是否证明不存在隐函数？

习题 7¶

\(F(x,y)=y^3-x\) 在原点能否用定理解出 \(y(x)\)？

习题 8¶

\(F(x,y)=e^y+x-2\) 在 \((1,0)\) 的 \(y'\) 是多少？

习题 9¶

局部唯一意味着方程在整个定义域只有一个解吗？

习题 10¶

隐函数定理与反函数定理的逻辑顺序是什么？