局部参数化怎样给出灵敏度并区分分支？¶

先备知识¶

掌握隐函数定理、分块 Jacobian、参数曲线和条件数。

学习目标¶

1. 把正则水平集写成局部图像；2. 解释隐式导数的灵敏度；
2. 区分局部唯一分支与远处其他分支。

牵引问题¶

一个隐式模型可能有多条解支。怎样在已知解附近连续追踪所选分支，又在接近折叠点时 识别灵敏度爆炸？

探索与猜想¶

若 \(D_yF\) 可逆，则局部解 \(y=\varphi(x)\) 的变化由

控制。\(D_yF\) 接近奇异时，微小参数变化可能造成巨大输出变化。

概念与理论¶

正则水平集的局部图像¶

若 \(F:\mathbb R^n\to\mathbb R^q\) 在解点的 Jacobian 秩为 \(q\)，可选出一个可逆 \(q\times q\) 列块。重排变量后，隐函数定理把水平集 \(F^{-1}(0)\) 局部写成

这给出 \(n-q\) 个自由参数。选择不同可逆列块可得到不同但兼容的局部坐标图。

灵敏度公式¶

若方程还依赖外部参数 \(p\)，\(F(p,y(p))=0\)，则

逆矩阵范数大表示隐式解对参数敏感。这里的灵敏度是问题本身的局部性质，不等同于 求解算法不稳定。

分支边界¶

定理只选出经过基点的局部参数化。同一参数值在远处可能有其他分支；当 \(D_yF\) 奇异时，当前坐标图可能终止、折叠或需要改换参数。因而：

• 隐函数局部存在不等于全局单值；
• 局部唯一不排除远处可能存在其他分支；
• 数值延拓应监测 Jacobian 条件，而不是盲目沿固定变量求解。

例题与迁移¶

例 1：圆的两条分支¶

\(x^2+y^2=1\) 在 \(|x|<1\) 有上、下两个远隔分支。经过 \((0,1)\) 的局部图像只选择 \(y=+\sqrt{1-x^2}\)，并不否认下支存在。

例 2：折叠与灵敏度¶

\(F(p,y)=y^2-p=0\) 的分支 \(y=\sqrt p\) 满足 \(dy/dp=1/(2\sqrt p)\)。 当 \(p\downarrow0\) 时灵敏度发散，且 \(F_y=2y\) 在折叠点奇异。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

一个 \(\mathbb R^5\to\mathbb R^2\) 的满秩水平集局部有几个自由参数？

即时检验 2¶

隐式导数很大是否证明 Newton 实现不稳定？

常见误区与后续¶

• 参数化是局部坐标，不是整个水平集的单张全局地图。
• 分块选择失败时可尝试改换依变量，而不是立即断言几何对象终止。
• 接近奇异块时，导数公式的逆会放大误差。

习题与答案¶

习题 1¶

对 \(F(x,y)=x^2+y^2-1\)，求上支在 \(x=0\) 的灵敏度。

习题 2¶

上支在 \(x\to1^-\) 时灵敏度怎样？

习题 3¶

秩为 \(q\) 的 \(F:\mathbb R^n\to\mathbb R^q\) 的正则水平集局部维数是多少？

习题 4¶

写出参数 \(p\) 到隐式变量 \(y\) 的导数公式。

习题 5¶

为什么条件数应与变量尺度一起报告？

习题 6¶

局部唯一分支是否排除另一个远处分支？

习题 7¶

若一个变量块奇异，水平集是否必奇异？

习题 8¶

延拓时监测哪类量可预警坐标图退化？

习题 9¶

\(y^2=p\) 在 \(p=0\) 为什么不能保持同一光滑分支描述？