单调收敛定理怎样闭合递增逼近？¶
先备知识¶
掌握非负积分定义、积分单调性和简单函数积分。
学习目标¶
证明非负可测函数递增列可以交换极限与积分。
牵引问题¶
第 49 章只处理递增简单函数；每项不简单时怎样闭环？
探索与猜想¶
一个固定的下方简单函数最终应被 f_n 的适当缩放水平集捕获。
概念与理论¶
单调收敛定理¶
若 0≤f_n↑f 几乎处处，修改同一零测集后可按处处递增处理，则
\[
\int f\,dm=\lim_{n\to\infty}\int f_n\,dm.
\]
证明¶
由单调性，右侧极限 L 存在且 L≤∫f。反向固定非负简单函数 φ≤f 和 0<c<1，令 A_n={f_n≥cφ}。集合 A_n 递增并覆盖 {φ>0}。于是 cφ1_{A_n}≤f_n，且对 φ 的 有限水平层使用测度从下连续，得到 ∫cφ1_{A_n}↑c∫φ。因此 c∫φ≤L；令 c↑1， 再对全部 φ≤f 取上确界，得 ∫f≤L。两边合并即证。
假设位置¶
非负性使积分与上确界有序；递增性使 A_n 递增；可测性保证集合与积分合法。
例题与迁移¶
例 1：区间扩张¶
1_[0,n]↑1_[0,∞)，积分 n↑∞。
例 2：级数¶
非负可测函数部分和递增，MCT 允许积分与非负级数求和交换。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
为何引入 c<1？
答案
当 f_n 只趋近 φ 时，严格缩小保证最终进入水平集。
即时检验 2¶
结论允许无穷吗？
答案
允许，两边都在扩展非负实数中。
常见误区与后续¶
- 递增不能只在积分数值上成立，必须是函数逐点几乎处处递增。
- 本定理不要求统一控制函数。
习题与答案¶
习题 1¶
写出三项核心假设。
答案
非负、可测、几乎处处递增。
习题 2¶
极限为何可测？
答案
可测函数列逐点极限可测。
习题 3¶
易方向是什么？
答案
\(\lim\int f_n\le\int f\)。
习题 4¶
A_n 覆盖哪个集合？
答案
φ 的正值集。
习题 5¶
从下连续用在哪里？
答案
用于 φ 的每个有限水平层与 A_n 的交集。
习题 6¶
为何可忽略同一零测集？
答案
零测集修改不改变积分。
习题 7¶
严格递增是必需的吗？
答案
不必，非递减即可。
习题 8¶
能否直接用于符号变化列？
答案
不能，需另加下界或改写。
习题 9¶
有限采样能证明 MCT 吗？
答案
不能。
习题 10¶
MCT 下一步推出什么？
答案
Fatou 引理。