连续性模怎样给出显式误差界？¶

先备知识¶

需要 Bernstein 权重、一阶与二阶中心矩，以及闭区间连续函数的一致连续性。

学习目标¶

定义连续性模并证明基本性质；
从二阶矩推出显式一致误差界；
为 Lipschitz 函数反解次数预算；
在有二阶导数界时获得更强估计；
区分理论上界、网格最大误差和未知真实上确界。

牵引问题¶

定性证明只说“充分大”。若希望误差不超过 \(\varepsilon\)，怎样把函数的连续性强弱转化成可计算次数？

探索与猜想¶

连续性模把“距离不超过 \(\delta\)”时的最坏函数变化压缩成一个数。Bernstein 二阶矩则量化权重偏离 \(x\) 的尺度，两者结合便给出统一误差。

概念与理论¶

连续性模¶

对 \(f\in C([0,1])\)，定义

\[ \omega_f(\delta)= \sup_{\substack{x,y\in[0,1]\\|x-y|\le\delta}}|f(x)-f(y)|. \]

它非负、关于 \(\delta\) 单调不减，且由一致连续性 \(\omega_f(\delta)\to0\)（\(\delta\downarrow0\)）。分段连接两点可得

\[ |f(u)-f(x)|\le\left(1+\frac{|u-x|}{\delta}\right)\omega_f(\delta). \]

定量 Bernstein 界¶

把上式乘权重求和，并用 Cauchy–Schwarz 与二阶中心矩：

\[ \begin{aligned} |B_n(f;x)-f(x)| &\le\omega_f(\delta)\left( 1+\frac1\delta\sum_k|k/n-x|p_{n,k}(x)\right)\\ &\le\omega_f(\delta)\left(1+\frac1{2\delta\sqrt n}\right). \end{aligned} \]

取 \(\delta=n^{-1/2}\)，得到显式一致界

\[ \|B_n(f)-f\|_\infty\le\frac32\,\omega_f(n^{-1/2}). \]

Lipschitz 次数预算¶

若 \(|f(u)-f(x)|\le L|u-x|\)，则直接由一阶绝对中心矩得

\[ \|B_n(f)-f\|_\infty\le\frac{L}{2\sqrt n}. \]

要使误差不超过 \(\varepsilon\)，足够取

\[ n\ge\left(\frac{L}{2\varepsilon}\right)^2. \]

若 \(f\in C^2([0,1])\) 且 \(\|f''\|_\infty\le M\)，对每个样本点作一阶 Taylor 展开；常数与线性项由矩恒等式精确保持，余项给出

\[ \|B_n(f)-f\|_\infty\le\frac{M}{8n}. \]

一般区间 \([a,b]\) 上两界分别乘 \(b-a\) 与 \((b-a)^2\)。

例题与迁移¶

例 1：绝对值函数¶

\(f(x)=|x-1/2|\) 的 Lipschitz 常数为 \(1\)，故次数 \(n\) 的理论上界为 \(1/(2\sqrt n)\)。

例 2：二次函数¶

\(f(x)=x^2\) 有 \(M=2\)，二阶导数界给 \(1/(4n)\)，并且这正是精确最大误差。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

连续性模为何趋于零？

答案

因为闭区间连续函数一致连续。

即时检验 2¶

网格最大误差为何不是理论上界？

答案

网格没有检查点与点之间，可能漏掉更大的真实误差。

习题与答案¶

习题 1¶

证明 \(\omega_f\) 单调不减。

答案

增大 \(\delta\) 只会扩大取上确界的点对集合。

习题 2¶

若 \(f\) 为常数，连续性模是多少？

答案

对所有 \(\delta\) 都为零。

习题 3¶

Lipschitz 常数为 \(2\)，\(n=100\) 时理论界是多少？

答案

\(2/(2\sqrt{100})=0.1\)。

习题 4¶

要使该 Lipschitz 界不超过 \(0.01\)，需怎样的 \(n\)？

答案

\(n\ge(2/(2\cdot0.01))^2=10000\)。

习题 5¶

二阶导数界为何比一般 Lipschitz 界快？

答案

线性项被构造精确保持，只剩二阶余项，量级为 \(1/n\)。

习题 6¶

区间长度翻倍时 Lipschitz 界怎样？

答案

放大两倍；二阶导数界则放大四倍。

习题 7¶

理论界大于观测误差是否矛盾？

答案

不矛盾；理论界是保守的全域保证。

习题 8¶

观测误差大于正确理论界可能说明什么？

答案

实现、输入的正则性常数或理论公式至少有一处错误。

习题 9¶

未知真实上确界误差能否由有限网格精确确定？

答案

一般不能，除非有额外结构证明网格间控制。

常见误区与后续¶

理论上界无需等于真实误差。
调用者提供的正则性常数必须先有数学依据。
下一单元实现时把证书字段和网格观测字段永久分开。