凸性为何能把局部极小升级为整体极小？¶
先备知识¶
你需要会使用中值定理判断单调性，理解切线与弦线的斜率，并能区分“至少存在一个” “至多存在一个”和“恰好存在一个”。第 17.1 单元已经用导数符号分析函数形态，本页 把这种局部信息升级为整个区间上的几何约束。
学习目标¶
完成本单元后，你应当能够：
- 用弦不等式判断函数是否凸或严格凸；
- 从凸性推出切线位于图像下方的支撑线不等式；
- 证明可微函数凸当且仅当导函数单调不减；
- 正确使用二阶导数判别凸性与严格凸性；
- 说明严格凸性为何保证极小点唯一，却不保证极小点存在。
牵引问题¶
一般函数的一个局部极小点，可能只是许多“山谷”中的一个。为什么在凸函数上，只要 找到一个驻点，就可以停止搜索并宣布它是整体极小点？这个结论依赖的不是图像看起来 像碗，而是一条能同时约束任意两点的弦不等式。
探索与猜想¶
考察
导数 \(f'(x)=e^x-1\) 只在 \(x=0\) 为零，二阶导数 \(f''(x)=e^x>0\)。第 17.1 单元的一阶判别说明 \(0\) 是局部极小点。要把“局部”升级为“整体”，可以尝试证明 所有切线都位于图像下方。特别地，原点处切线是常数 \(1\)，若能证明
就同时得到整体最小值与一个经典指数不等式。
概念与理论¶
凸函数与严格凸函数¶
设 \(I\) 是区间。若对任意 \(x,y\in I\) 和 \(t\in[0,1]\)，都有
称 \(f\) 在 \(I\) 上是凸函数。这就是弦不等式：图像上两点之间的弦线不低于 图像。
若对任意不同的 \(x,y\in I\) 和 \(t\in(0,1)\)，不等式严格成立，则称 \(f\) 为 严格凸函数。
仿射函数 \(f(x)=ax+b\) 的弦不等式处处取等号，所以它凸但不严格凸。严格凸性描述的 不是“二阶导数每一点都严格为正”这一种形式，而是任意非平凡弦段都严格高于内部图像。
割线斜率的有序性¶
若 \(x<z<y\)，由凸性定义分别把 \(z\) 写成 \(x,y\) 的凸组合，可得
这组三点斜率不等式说明：沿凸函数向右移动时，割线斜率只能上升。它是弦定义通向 导数判据的桥梁。
支撑线不等式¶
定理。 若 \(f\) 在区间 \(I\) 上凸，并在内点 \(a\) 可导，则对所有 \(x\in I\)，
也就是说，\(a\) 处切线是图像的一条支撑线。
证明。 先设 \(x>a\)。对 \(0<t<1\)，点
位于 \(a,x\) 之间。弦不等式给出
移项并除以正数 \(t(x-a)\)：
令 \(t\to0^+\)，左边趋于 \(f'(a)\)，于是
乘以 \(x-a>0\) 即得结论。若 \(x<a\)，使用左侧差商并注意负分母使不等号方向转换， 得到同一支撑线不等式。证毕。
凸性与导数单调性的等价¶
定理。 设 \(I\) 是开区间，\(f\) 在 \(I\) 上可微。则 \(f\) 在 \(I\) 上凸， 当且仅当 \(f'\) 在 \(I\) 上单调不减。若 \(I\) 含有一个或两个端点，则还要求 \(f\) 在相应端点连续，结论才延伸到整个 \(I\)。
证明。
先设 \(f\) 凸。对内部点 \(x<y\)，三点割线不等式取左右极限得到
所以 \(f'\) 单调不减。
反过来，设 \(f'\) 单调不减。固定内部点 \(a\)。若 \(x>a\)，由 Lagrange 中值定理， 存在 \(\xi\in(a,x)\) 使
若 \(x<a\)，同样应用中值定理，并结合 \(f'(\xi)\le f'(a)\) 与 \(x-a<0\)，仍得到
因此每个内部点都有支撑线。取 \(z=(1-t)x+ty\)，分别把支撑线不等式用于 \(x,y\)：
第一式乘 \(1-t\)，第二式乘 \(t\) 后相加。因为
导数项抵消，得到
这正是开区间上的弦不等式。若区间含端点，利用已经假设的端点连续性从内部逼近， 即可得到端点参与时的弦不等式。证毕。
二阶导数判据¶
若 \(f\) 在开区间上二阶可导，则
在所有内部点成立。对含端点的区间，仍需在端点补充连续性。
事实上，\(f''\ge0\) 由第 15.2 单元的单调性定理推出 \(f'\) 单调不减；反过来，凸性 推出 \(f'\) 单调不减，而一个单调不减函数在可导点的导数不能为负。
若 \(f''>0\) 处处成立，则 \(f'\) 严格递增，从而 \(f\) 严格凸。但这只是充分条件， 不是必要条件；\(x^4\) 严格凸，而 \(f''(0)=0\)。
严格凸性与唯一极小点¶
定理。
- 严格凸函数在一个凸区间上至多有一个整体极小点；
- 若可微凸函数在内点 \(x_*\) 满足 \(f'(x_*)=0\)，则 \(x_*\) 是整体极小点；
- 若函数进一步严格凸，则该整体极小点唯一。
证明。 若不同的 \(x_1,x_2\) 都是整体极小点，最小值为 \(m\)，严格弦不等式在 中点给出
与 \(m\) 是最小值矛盾，所以至多有一个。
若 \(f'(x_*)=0\)，支撑线不等式给出
对所有 \(x\) 成立，所以 \(x_*\) 是整体极小点。严格凸时再用第一部分得到唯一性。 证毕。
注意：严格凸性只给出“至多有一个”，不保证极小点存在。存在性需要额外来源，例如 连续函数在紧区间上的最值定理、已经找到的驻点，或者已经证明的边界增长行为。
例题与迁移¶
例 1：\(e^x-x\) 的唯一整体最小值¶
令
因为 \(f''(x)=e^x>0\)，所以 \(f\) 在 \(\mathbb R\) 上严格凸。又
只在 \(x=0\) 为零。由支撑线定理，\(0\) 是唯一整体极小点，最小值为
原点处支撑线正是 \(y=1\)，所以同时得到
等价地，
等号仅在 \(x=0\) 成立。
例 2：严格凸不要求二阶导数处处为正¶
对 \(f(x)=x^4\)，有
函数 \(4x^3\) 在 \(\mathbb R\) 上严格递增，所以由导数判据，\(x^4\) 严格凸。虽然
任意非平凡弦段仍严格位于图像上方。驻点 \(0\) 因而是唯一整体极小点。
这个例子说明“\(f''>0\) 处处”是方便的充分条件，不是严格凸的必要条件。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
仿射函数 \(f(x)=2x+1\) 是否凸、是否严格凸？它在 \(\mathbb R\) 上有整体极小点吗？
答案
对任意 \(x,y,t\)，
所以函数凸，但弦不等式从不严格，因而不严格凸。函数在 \(\mathbb R\) 上无下界， 没有整体极小点。
即时检验 2¶
\(f(x)=e^x\) 在 \(\mathbb R\) 上严格凸。它是否取得整体最小值？
答案
不取得。虽然 \(f''(x)=e^x>0\)，但 \(e^x>0\) 对所有实数成立，且当 \(x\to-\infty\) 时 \(e^x\to0\)。下确界为 \(0\)，却没有任何实数点使 \(e^x=0\)。这直接说明严格凸不保证极小点存在。
回望：凸性把每条切线变成全局下界。驻点处切线是水平线，于是局部的一阶条件立即 变成全局最优性条件；严格凸性再排除第二个最优点。
习题与答案¶
习题 1：二次函数的全局最小值¶
设 \(a>0\)。不用配方法，只用凸性求
的唯一整体极小点和最小值。
答案
\(f''(x)=2a>0\)，所以 \(f\) 严格凸。驻点由
得
它是唯一整体极小点。代入得最小值
习题 2：严格凸但没有极小点¶
证明 \(f(x)=-\log x\) 在 \((0,\infty)\) 上严格凸，却没有整体极小点。
答案
所以 \(f\) 严格凸。但当 \(x\to\infty\) 时，\(-\log x\to-\infty\)，函数甚至 没有下界，因此没有整体极小点。
习题 3：由支撑线得到不等式¶
利用 \(-\log x\) 在 \(x=1\) 处的支撑线证明
答案
对 \(f(x)=-\log x\)，有 \(f(1)=0\)、\(f'(1)=-1\)。支撑线不等式给出
两边乘 \(-1\) 并反向，得到
习题 4：不可微凸函数¶
直接用三角不等式证明 \(f(x)=|x|\) 是凸函数。为什么本页的可微导数判据不能直接 覆盖原点？
答案
对 \(t\in[0,1]\)，
所以 \(|x|\) 凸。它在原点不可导，因此“可微函数凸当且仅当导数单调不减”的 定理不能原样在整个实线上应用；弦定义仍然有效。
习题 5：二阶导数某处为正仍不够¶
在 \([-1,1]\) 上定义
证明 \(f''\ge0\) 且在某些点严格为正，但 \(f\) 不是严格凸函数。
答案
在 \(x<0\) 时 \(f''=0\)，在 \(x>0\) 时 \(f''=12x^2>0\)。在原点左右的一、二阶 导数都衔接为 \(0\)，所以 \(f\) 二阶可导且 \(f''\ge0\)，从而凸。
但在区间 \([-1,0]\) 上函数恒为 \(0\)。取不同的 \(x,y\in[-1,0]\)，弦不等式 处处取等号，因此函数在整个 \([-1,1]\) 上不严格凸。这说明“\(f''\) 至少某处 为正”不能替代严格凸的定义。
常见误区与后续¶
- 把图像像碗当作定义： 正式定义是对任意两点成立的弦不等式。
- 把 \(f''>0\) 当成必要条件： \(x^4\) 在原点提供反例。
- 把严格凸写成必有唯一极小点： 严格凸只保证至多一个；存在性必须另证。
- 忽略定义域是不是区间： 弦上的凸组合必须仍留在定义域内。
- 把数值采样当作凸性证明： 有限点检查无法覆盖所有 \(x,y,t\)。
下一单元把支撑线和切线交点用于 Newton 方法。凸性将帮助建立一种强条件下的单调 收敛定理，但纯 Newton 仍可能因初值、导数过小或重根而失败。