小矩形上的局部贡献怎样累积成二重积分？¶
先备知识¶
掌握一元 Riemann 和、函数极限与矩形面积。
学习目标¶
能用统一网格尺度定义二重积分，并检查结论是否对任意取样成立。
牵引问题¶
把曲顶柱体切成许多小柱体时，怎样保证总和不依赖每格选取的代表点？
探索与猜想¶
固定网格算出的只是一个近似。真正的积分要求：只要所有小矩形都足够小，任意取样 给出的和都靠近同一个数。
概念与理论¶
设 \(R=[a,b]\times[c,d]\)。用横纵分点把它分割成有限个小矩形 \(R_{ij}\)，记面积为 \(\Delta A_{ij}\)，并任取 \(\xi_{ij}\in R_{ij}\)。分割的网格宽度定义为所有小矩形直径的最大值。
二重 Riemann 积分¶
若存在 \(I\in\mathbb R\)，使对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，当分割网格小于 \(\delta\) 时，对任意取样都有
则称 \(f\) 在 \(R\) 上可积，记 \(I=\iint_R f\,dA\)。和式称为 Riemann 和。
定义中的“任意取样”保证取样无关；只沿某一列特殊网格得到收敛，不能单独证明 可积性。若两个数都满足定义，对同一足够细分割应用三角不等式便知二者相等。
例题与迁移¶
例 1：常数函数¶
若 \(f\equiv k\)，每个 Riemann 和都等于 \(k\sum\Delta A_{ij}=k(b-a)(d-c)\)，故积分即此值。
例 2：代表点依赖的警告¶
在 \([0,1]^2\) 上，令 \(f=1\) 于两个坐标均为有理数的点，否则为 \(0\)。 每格既有两类点：全选前者得和 \(1\)，全选后者得和 \(0\)，故不存在取样无关极限。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
为什么不能只要求小矩形面积趋于零？
答案
很扁长的矩形面积虽小，直径仍可能很大，不能控制函数在其中的局部变化。
即时检验 2¶
固定取左下角的和收敛，是否已经证明可积？
答案
没有；定义要求所有足够细分割及任意取样都趋于同一值。
常见误区与后续¶
- 网格小指最大直径小，不是小矩形数目多。
- Riemann 和带有面积权重，不能只求函数值平均。
- 下一单元将用一致连续性给出可积性的充分条件。
习题与答案¶
习题 1¶
写出 \(2\times3\) 分割的 Riemann 和通式。
答案
写成 \(\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^3 f(\xi_{ij})\Delta x_i\Delta y_j\)。
习题 2¶
\(f\equiv-2\) 在面积为 \(5\) 的矩形上积分是多少？
答案
所有和均为 \(-2\cdot5=-10\)。
习题 3¶
为何积分值至多一个？
答案
若 \(I,J\) 都满足定义，取同一细分割，使和分别距二者小于任意给定误差的一半。
习题 4¶
把每格再细分会改变常数函数的和吗？
答案
不会，子矩形面积之和仍为原矩形面积。
习题 5¶
Riemann 和为何可看作小柱体有向体积之和？
答案
每项是高度 \(f(\xi_{ij})\) 乘底面积 \(\Delta A_{ij}\)，负高度保留符号。
习题 6¶
非均匀分割能否进入定义？
答案
能；只要所有小矩形的最大直径受到统一控制。
习题 7¶
有界性为何是可积的必要条件？
答案
无界函数会在含无界点值的格内产生不可统一控制的取样和；本章定义针对有界函数。
习题 8¶
构造两列取样和趋向不同值能推出什么？
答案
推出函数不满足取样无关的 Riemann 可积定义。